Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14379 / 21784
↖ ↑ ↗
← S 50.903033°
W 22.027588°		 ← 770.37 m → S 50.903033°
W 22.016602°		 →
↑
770.38 m
↓
↑
770.38 m
↓
S 50.909961°
W 22.027588°		 ← 770.25 m →
593 433 m²		 S 50.909961°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438827514648438 y=0.664810180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438827514648438 × 215)
    floor (0.438827514648438 × 32768)
    floor (14379.5)     		tx = 14379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664810180664062 × 215)
    floor (0.664810180664062 × 32768)
    floor (21784.5)     		ty = 21784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14379 / 21784 ti = "15/14379/21784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14379/21784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14379 ÷ 215
    14379 ÷ 32768     		x = 0.438812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21784 ÷ 215
    21784 ÷ 32768     		y = 0.664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38445393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38445393} λ = -0.38445393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03543703179321))-π/2
    2×atan(0.355071169621307)-π/2
    2×0.341185402329938-π/2
    0.682370804659875-1.57079632675     		φ = -0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38445393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14379 KachelY 21784 -0.38445393 -0.88842552 -22.027588 -50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 14380 KachelY 21784 -0.38426219 -0.88842552 -22.016602 -50.903033
    Unten links KachelX 14379 KachelY + 1 21785 -0.38445393 -0.88854644 -22.027588 -50.909961
    Unten rechts KachelX + 1 14380 KachelY + 1 21785 -0.38426219 -0.88854644 -22.016602 -50.909961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88842552--0.88854644) × R
    0.00012092000000008 × 6371000     		dl = 770.381320000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88842552--0.88854644) × R
    0.00012092000000008 × 6371000     		dr = 770.381320000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38445393--0.38426219) × cos(-0.88842552) × R
    0.000191739999999996 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 770.367960648505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38445393--0.38426219) × cos(-0.88854644) × R
    0.000191739999999996 × 0.630540881662994 × 6371000     		du = 770.253318009531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88842552)-sin(-0.88854644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630540881662994)×R²
    abs(-0.38426219--0.38445393)×9.38481782091216e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38481782091216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38481782091216e-05×40589641000000     		ar = 593432.927860246m²