Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14379 / 11307
↖ ↑ ↗
← N 48.611122°
W 22.027588°		 ← 807.66 m → N 48.611122°
W 22.016602°		 →
↑
807.78 m
↓
↑
807.78 m
↓
N 48.603857°
W 22.027588°		 ← 807.78 m →
652 461 m²		 N 48.603857°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438827514648438 y=0.345077514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438827514648438 × 215)
    floor (0.438827514648438 × 32768)
    floor (14379.5)     		tx = 14379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345077514648438 × 215)
    floor (0.345077514648438 × 32768)
    floor (11307.5)     		ty = 11307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14379 / 11307 ti = "15/14379/11307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14379/11307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14379 ÷ 215
    14379 ÷ 32768     		x = 0.438812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11307 ÷ 215
    11307 ÷ 32768     		y = 0.345062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38445393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345062255859375 × 2 - 1) × π
    0.30987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.9735025574841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38445393} λ = -0.38445393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9735025574841))-π/2
    2×atan(2.64720021140232)-π/2
    2×1.20961022868471-π/2
    2.41922045736942-1.57079632675     		φ = 0.84842413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38445393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84842413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.611122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14379 KachelY 11307 -0.38445393 0.84842413 -22.027588 48.611122
    Oben rechts KachelX + 1 14380 KachelY 11307 -0.38426219 0.84842413 -22.016602 48.611122
    Unten links KachelX 14379 KachelY + 1 11308 -0.38445393 0.84829734 -22.027588 48.603857
    Unten rechts KachelX + 1 14380 KachelY + 1 11308 -0.38426219 0.84829734 -22.016602 48.603857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84842413-0.84829734) × R
    0.000126790000000043 × 6371000     		dl = 807.779090000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84842413-0.84829734) × R
    0.000126790000000043 × 6371000     		dr = 807.779090000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38445393--0.38426219) × cos(0.84842413) × R
    0.000191739999999996 × 0.661166246157245 × 6371000     		do = 807.664514179292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38445393--0.38426219) × cos(0.84829734) × R
    0.000191739999999996 × 0.661261363699339 × 6371000     		du = 807.780707442139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84842413)-sin(0.84829734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661166246157245-0.661261363699339)×R²
    abs(-0.38426219--0.38445393)×9.51175420944583e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51175420944583e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51175420944583e-05×40589641000000     		ar = 652461.43640781m²