Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14378 / 11063
↖ ↑ ↗
← N 50.352471°
W 22.038574°		 ← 779.48 m → N 50.352471°
W 22.027588°		 →
↑
779.49 m
↓
↑
779.49 m
↓
N 50.345461°
W 22.038574°		 ← 779.60 m →
607 645 m²		 N 50.345461°
W 22.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438796997070312 y=0.337631225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438796997070312 × 215)
    floor (0.438796997070312 × 32768)
    floor (14378.5)     		tx = 14378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337631225585938 × 215)
    floor (0.337631225585938 × 32768)
    floor (11063.5)     		ty = 11063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14378 / 11063 ti = "15/14378/11063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14378/11063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14378 ÷ 215
    14378 ÷ 32768     		x = 0.43878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11063 ÷ 215
    11063 ÷ 32768     		y = 0.337615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38464568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337615966796875 × 2 - 1) × π
    0.32476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02028897151328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38464568} λ = -0.38464568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02028897151328))-π/2
    2×atan(2.77399625405017)-π/2
    2×1.22480636520378-π/2
    2.44961273040755-1.57079632675     		φ = 0.87881640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38464568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87881640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.352471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14378 KachelY 11063 -0.38464568 0.87881640 -22.038574 50.352471
    Oben rechts KachelX + 1 14379 KachelY 11063 -0.38445393 0.87881640 -22.027588 50.352471
    Unten links KachelX 14378 KachelY + 1 11064 -0.38464568 0.87869405 -22.038574 50.345461
    Unten rechts KachelX + 1 14379 KachelY + 1 11064 -0.38445393 0.87869405 -22.027588 50.345461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87881640-0.87869405) × R
    0.000122350000000049 × 6371000     		dl = 779.491850000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87881640-0.87869405) × R
    0.000122350000000049 × 6371000     		dr = 779.491850000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38464568--0.38445393) × cos(0.87881640) × R
    0.000191749999999991 × 0.638062944227328 × 6371000     		do = 779.482736638626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38464568--0.38445393) × cos(0.87869405) × R
    0.000191749999999991 × 0.638157147019085 × 6371000     		du = 779.597818466496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87881640)-sin(0.87869405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638062944227328-0.638157147019085)×R²
    abs(-0.38445393--0.38464568)×9.42027917565369e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42027917565369e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42027917565369e-05×40589641000000     		ar = 607645.293857674m²