Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14377 / 21788
↖ ↑ ↗
← S 50.930738°
W 22.049561°		 ← 769.95 m → S 50.930738°
W 22.038574°		 →
↑
769.87 m
↓
↑
769.87 m
↓
S 50.937662°
W 22.049561°		 ← 769.83 m →
592 718 m²		 S 50.937662°
W 22.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438766479492188 y=0.664932250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438766479492188 × 215)
    floor (0.438766479492188 × 32768)
    floor (14377.5)     		tx = 14377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664932250976562 × 215)
    floor (0.664932250976562 × 32768)
    floor (21788.5)     		ty = 21788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14377 / 21788 ti = "15/14377/21788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14377/21788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14377 ÷ 215
    14377 ÷ 32768     		x = 0.438751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21788 ÷ 215
    21788 ÷ 32768     		y = 0.6649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.12249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38483743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38483743} λ = -0.38483743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03620402218713))-π/2
    2×atan(0.354798937857968)-π/2
    2×0.340943628914505-π/2
    0.681887257829011-1.57079632675     		φ = -0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38483743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.049561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14377 KachelY 21788 -0.38483743 -0.88890907 -22.049561 -50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 14378 KachelY 21788 -0.38464568 -0.88890907 -22.038574 -50.930738
    Unten links KachelX 14377 KachelY + 1 21789 -0.38483743 -0.88902991 -22.049561 -50.937662
    Unten rechts KachelX + 1 14378 KachelY + 1 21789 -0.38464568 -0.88902991 -22.038574 -50.937662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88890907--0.88902991) × R
    0.000120840000000011 × 6371000     		dl = 769.87164000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88890907--0.88902991) × R
    0.000120840000000011 × 6371000     		dr = 769.87164000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38483743--0.38464568) × cos(-0.88890907) × R
    0.000191749999999991 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 769.94959964397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38483743--0.38464568) × cos(-0.88902991) × R
    0.000191749999999991 × 0.630165559825205 × 6371000     		du = 769.834981880656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88890907)-sin(-0.88902991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630165559825205)×R²
    abs(-0.38464568--0.38483743)×9.3822921385267e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3822921385267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3822921385267e-05×40589641000000     		ar = 592718.241233364m²