Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14375 / 21442
↖ ↑ ↗
← S 48.472921°
W 22.071533°		 ← 809.91 m → S 48.472921°
W 22.060547°		 →
↑
809.88 m
↓
↑
809.88 m
↓
S 48.480204°
W 22.071533°		 ← 809.80 m →
655 888 m²		 S 48.480204°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438705444335938 y=0.654373168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438705444335938 × 215)
    floor (0.438705444335938 × 32768)
    floor (14375.5)     		tx = 14375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654373168945312 × 215)
    floor (0.654373168945312 × 32768)
    floor (21442.5)     		ty = 21442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14375 / 21442 ti = "15/14375/21442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14375/21442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14375 ÷ 215
    14375 ÷ 32768     		x = 0.438690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21442 ÷ 215
    21442 ÷ 32768     		y = 0.65435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.12261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38522093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.3087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.969859353112976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38522093} λ = -0.38522093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969859353112976))-π/2
    2×atan(0.379136358702232)-π/2
    2×0.362392126274181-π/2
    0.724784252548363-1.57079632675     		φ = -0.84601207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38522093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.071533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84601207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.472921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14375 KachelY 21442 -0.38522093 -0.84601207 -22.071533 -48.472921
    Oben rechts KachelX + 1 14376 KachelY 21442 -0.38502918 -0.84601207 -22.060547 -48.472921
    Unten links KachelX 14375 KachelY + 1 21443 -0.38522093 -0.84613919 -22.071533 -48.480204
    Unten rechts KachelX + 1 14376 KachelY + 1 21443 -0.38502918 -0.84613919 -22.060547 -48.480204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84601207--0.84613919) × R
    0.000127120000000036 × 6371000     		dl = 809.88152000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84601207--0.84613919) × R
    0.000127120000000036 × 6371000     		dr = 809.88152000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38522093--0.38502918) × cos(-0.84601207) × R
    0.000191749999999991 × 0.662973943567427 × 6371000     		do = 809.914991189213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38522093--0.38502918) × cos(-0.84613919) × R
    0.000191749999999991 × 0.662878770780042 × 6371000     		du = 809.798724376613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84601207)-sin(-0.84613919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662973943567427-0.662878770780042)×R²
    abs(-0.38502918--0.38522093)×9.51727873841346e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51727873841346e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51727873841346e-05×40589641000000     		ar = 655888.103846901m²