Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14375 / 21281
↖ ↑ ↗
← S 47.286682°
W 22.071533°		 ← 828.68 m → S 47.286682°
W 22.060547°		 →
↑
828.61 m
↓
↑
828.61 m
↓
S 47.294134°
W 22.071533°		 ← 828.56 m →
686 602 m²		 S 47.294134°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438705444335938 y=0.649459838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438705444335938 × 215)
    floor (0.438705444335938 × 32768)
    floor (14375.5)     		tx = 14375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649459838867188 × 215)
    floor (0.649459838867188 × 32768)
    floor (21281.5)     		ty = 21281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14375 / 21281 ti = "15/14375/21281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14375/21281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14375 ÷ 215
    14375 ÷ 32768     		x = 0.438690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21281 ÷ 215
    21281 ÷ 32768     		y = 0.649444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.12261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38522093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.29888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.93898798975766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38522093} λ = -0.38522093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93898798975766))-π/2
    2×atan(0.391023354829969)-π/2
    2×0.372744017755498-π/2
    0.745488035510995-1.57079632675     		φ = -0.82530829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38522093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.071533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82530829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.286682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14375 KachelY 21281 -0.38522093 -0.82530829 -22.071533 -47.286682
    Oben rechts KachelX + 1 14376 KachelY 21281 -0.38502918 -0.82530829 -22.060547 -47.286682
    Unten links KachelX 14375 KachelY + 1 21282 -0.38522093 -0.82543835 -22.071533 -47.294134
    Unten rechts KachelX + 1 14376 KachelY + 1 21282 -0.38502918 -0.82543835 -22.060547 -47.294134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82530829--0.82543835) × R
    0.000130059999999932 × 6371000     		dl = 828.612259999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82530829--0.82543835) × R
    0.000130059999999932 × 6371000     		dr = 828.612259999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38522093--0.38502918) × cos(-0.82530829) × R
    0.000191749999999991 × 0.678330479645687 × 6371000     		do = 828.675138406457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38522093--0.38502918) × cos(-0.82543835) × R
    0.000191749999999991 × 0.678234911421199 × 6371000     		du = 828.55838851237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82530829)-sin(-0.82543835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678330479645687-0.678234911421199)×R²
    abs(-0.38502918--0.38522093)×9.55682244878631e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55682244878631e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55682244878631e-05×40589641000000     		ar = 686602.010011763m²