Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14375 / 14329
↖ ↑ ↗
← N 70.625374°
W101.035767°		 ← 202.62 m → N 70.625374°
W101.030274°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 70.623552°
W101.035767°		 ← 202.64 m →
41 066 m²		 N 70.623552°
W101.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219352722167969 y=0.218650817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219352722167969 × 216)
    floor (0.219352722167969 × 65536)
    floor (14375.5)     		tx = 14375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218650817871094 × 216)
    floor (0.218650817871094 × 65536)
    floor (14329.5)     		ty = 14329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14375 / 14329 ti = "16/14375/14329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14375/14329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14375 ÷ 216
    14375 ÷ 65536     		x = 0.219345092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14329 ÷ 216
    14329 ÷ 65536     		y = 0.218643188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219345092773438 × 2 - 1) × π
    -0.561309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76340679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218643188476562 × 2 - 1) × π
    0.562713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76781698418843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76340679} λ = -1.76340679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76781698418843))-π/2
    2×atan(5.85805117443969)-π/2
    2×1.4017208238235-π/2
    2.80344164764701-1.57079632675     		φ = 1.23264532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76340679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.035767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23264532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.625374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14375 KachelY 14329 -1.76340679 1.23264532 -101.035767 70.625374
    Oben rechts KachelX + 1 14376 KachelY 14329 -1.76331092 1.23264532 -101.030274 70.625374
    Unten links KachelX 14375 KachelY + 1 14330 -1.76340679 1.23261351 -101.035767 70.623552
    Unten rechts KachelX + 1 14376 KachelY + 1 14330 -1.76331092 1.23261351 -101.030274 70.623552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23264532-1.23261351) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23264532-1.23261351) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76340679--1.76331092) × cos(1.23264532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331743376104761 × 6371000     		do = 202.624796903294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76340679--1.76331092) × cos(1.23261351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331773384526086 × 6371000     		du = 202.643125680036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23264532)-sin(1.23261351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331743376104761-0.331773384526086)×R²
    abs(-1.76331092--1.76340679)×3.00084213246676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00084213246676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00084213246676e-05×40589641000000     		ar = 41066.1045761194m²