Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14374 / 21795
↖ ↑ ↗
← S 50.979182°
W 22.082519°		 ← 769.11 m → S 50.979182°
W 22.071533°		 →
↑
769.11 m
↓
↑
769.11 m
↓
S 50.986099°
W 22.082519°		 ← 768.99 m →
591 482 m²		 S 50.986099°
W 22.071533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438674926757812 y=0.665145874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438674926757812 × 215)
    floor (0.438674926757812 × 32768)
    floor (14374.5)     		tx = 14374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665145874023438 × 215)
    floor (0.665145874023438 × 32768)
    floor (21795.5)     		ty = 21795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14374 / 21795 ti = "15/14374/21795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14374/21795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14374 ÷ 215
    14374 ÷ 32768     		x = 0.43865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21795 ÷ 215
    21795 ÷ 32768     		y = 0.665130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.1226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38541267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.33026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0375462553765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38541267} λ = -0.38541267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0375462553765))-π/2
    2×atan(0.354323034406178)-π/2
    2×0.340520871747266-π/2
    0.681041743494532-1.57079632675     		φ = -0.88975458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38541267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.082519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88975458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.979182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14374 KachelY 21795 -0.38541267 -0.88975458 -22.082519 -50.979182
    Oben rechts KachelX + 1 14375 KachelY 21795 -0.38522093 -0.88975458 -22.071533 -50.979182
    Unten links KachelX 14374 KachelY + 1 21796 -0.38541267 -0.88987530 -22.082519 -50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 14375 KachelY + 1 21796 -0.38522093 -0.88987530 -22.071533 -50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88975458--0.88987530) × R
    0.000120720000000074 × 6371000     		dl = 769.107120000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88975458--0.88987530) × R
    0.000120720000000074 × 6371000     		dr = 769.107120000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38541267--0.38522093) × cos(-0.88975458) × R
    0.000191739999999996 × 0.62960271656501 × 6371000     		do = 769.107278473352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38541267--0.38522093) × cos(-0.88987530) × R
    0.000191739999999996 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 768.9927019703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88975458)-sin(-0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62960271656501-0.629508922526655)×R²
    abs(-0.38522093--0.38541267)×9.37940383546332e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37940383546332e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37940383546332e-05×40589641000000     		ar = 591481.82383361m²