Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14372 / 21421
↖ ↑ ↗
← S 48.319734°
W 22.104492°		 ← 812.36 m → S 48.319734°
W 22.093506°		 →
↑
812.30 m
↓
↑
812.30 m
↓
S 48.327039°
W 22.104492°		 ← 812.24 m →
659 833 m²		 S 48.327039°
W 22.093506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438613891601562 y=0.653732299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438613891601562 × 215)
    floor (0.438613891601562 × 32768)
    floor (14372.5)     		tx = 14372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653732299804688 × 215)
    floor (0.653732299804688 × 32768)
    floor (21421.5)     		ty = 21421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14372 / 21421 ti = "15/14372/21421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14372/21421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14372 ÷ 215
    14372 ÷ 32768     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21421 ÷ 215
    21421 ÷ 32768     		y = 0.653717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.30743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.965832653544891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965832653544891))-π/2
    2×atan(0.38066610476098)-π/2
    2×0.36372893705952-π/2
    0.727457874119039-1.57079632675     		φ = -0.84333845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84333845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.319734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14372 KachelY 21421 -0.38579617 -0.84333845 -22.104492 -48.319734
    Oben rechts KachelX + 1 14373 KachelY 21421 -0.38560442 -0.84333845 -22.093506 -48.319734
    Unten links KachelX 14372 KachelY + 1 21422 -0.38579617 -0.84346595 -22.104492 -48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 14373 KachelY + 1 21422 -0.38560442 -0.84346595 -22.093506 -48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84333845--0.84346595) × R
    0.000127500000000058 × 6371000     		dl = 812.30250000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84333845--0.84346595) × R
    0.000127500000000058 × 6371000     		dr = 812.30250000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38560442) × cos(-0.84333845) × R
    0.000191749999999991 × 0.664973157119159 × 6371000     		do = 812.357308933141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38560442) × cos(-0.84346595) × R
    0.000191749999999991 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 812.240971030088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84333845)-sin(-0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664973157119159-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.38560442--0.38579617)×9.52309800569262e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52309800569262e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52309800569262e-05×40589641000000     		ar = 659832.623049192m²