Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14370 / 21085
↖ ↑ ↗
← S 45.805828°
W 22.126465°		 ← 851.55 m → S 45.805828°
W 22.115479°		 →
↑
851.55 m
↓
↑
851.55 m
↓
S 45.813486°
W 22.126465°		 ← 851.43 m →
725 086 m²		 S 45.813486°
W 22.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438552856445312 y=0.643478393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438552856445312 × 215)
    floor (0.438552856445312 × 32768)
    floor (14370.5)     		tx = 14370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643478393554688 × 215)
    floor (0.643478393554688 × 32768)
    floor (21085.5)     		ty = 21085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14370 / 21085 ti = "15/14370/21085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14370/21085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14370 ÷ 215
    14370 ÷ 32768     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21085 ÷ 215
    21085 ÷ 32768     		y = 0.643463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.28692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.901405460455536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901405460455536))-π/2
    2×atan(0.405998643525763)-π/2
    2×0.38566690109356-π/2
    0.77133380218712-1.57079632675     		φ = -0.79946252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79946252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.805828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14370 KachelY 21085 -0.38617966 -0.79946252 -22.126465 -45.805828
    Oben rechts KachelX + 1 14371 KachelY 21085 -0.38598792 -0.79946252 -22.115479 -45.805828
    Unten links KachelX 14370 KachelY + 1 21086 -0.38617966 -0.79959618 -22.126465 -45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 14371 KachelY + 1 21086 -0.38598792 -0.79959618 -22.115479 -45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79946252--0.79959618) × R
    0.000133660000000035 × 6371000     		dl = 851.547860000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79946252--0.79959618) × R
    0.000133660000000035 × 6371000     		dr = 851.547860000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38598792) × cos(-0.79946252) × R
    0.000191739999999996 × 0.697092173246369 × 6371000     		do = 851.550747963188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38598792) × cos(-0.79959618) × R
    0.000191739999999996 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 851.433674635126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79946252)-sin(-0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697092173246369-0.696996335269732)×R²
    abs(-0.38598792--0.38617966)×9.58379766363704e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58379766363704e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58379766363704e-05×40589641000000     		ar = 725086.37141865m²