Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14370 / 10274
↖ ↑ ↗
← N 76.798230°
W101.063233°		 ← 139.51 m → N 76.798230°
W101.057739°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
N 76.796975°
W101.063233°		 ← 139.52 m →
19 466 m²		 N 76.796975°
W101.057739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219276428222656 y=0.156776428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219276428222656 × 216)
    floor (0.219276428222656 × 65536)
    floor (14370.5)     		tx = 14370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156776428222656 × 216)
    floor (0.156776428222656 × 65536)
    floor (10274.5)     		ty = 10274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14370 / 10274 ti = "16/14370/10274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14370/10274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14370 ÷ 216
    14370 ÷ 65536     		x = 0.219268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10274 ÷ 216
    10274 ÷ 65536     		y = 0.156768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.56146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76388616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156768798828125 × 2 - 1) × π
    0.68646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15658524010709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76388616} λ = -1.76388616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15658524010709))-π/2
    2×atan(8.64157830313519)-π/2
    2×1.45558914888406-π/2
    2.91117829776813-1.57079632675     		φ = 1.34038197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76388616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34038197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.798230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14370 KachelY 10274 -1.76388616 1.34038197 -101.063233 76.798230
    Oben rechts KachelX + 1 14371 KachelY 10274 -1.76379028 1.34038197 -101.057739 76.798230
    Unten links KachelX 14370 KachelY + 1 10275 -1.76388616 1.34036007 -101.063233 76.796975
    Unten rechts KachelX + 1 14371 KachelY + 1 10275 -1.76379028 1.34036007 -101.057739 76.796975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34038197-1.34036007) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dl = 139.524899999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34038197-1.34036007) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dr = 139.524899999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76388616--1.76379028) × cos(1.34038197) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228380949239469 × 6371000     		do = 139.506840846643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76388616--1.76379028) × cos(1.34036007) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228402270408159 × 6371000     		du = 139.519864914092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34038197)-sin(1.34036007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228380949239469-0.228402270408159)×R²
    abs(-1.76379028--1.76388616)×2.13211686890813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.13211686890813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.13211686890813e-05×40589641000000     		ar = 19465.5866098632m²