Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14369 / 21763
↖ ↑ ↗
← S 50.757310°
W 22.137451°		 ← 772.82 m → S 50.757310°
W 22.126465°		 →
↑
772.74 m
↓
↑
772.74 m
↓
S 50.764259°
W 22.137451°		 ← 772.70 m →
597 141 m²		 S 50.764259°
W 22.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438522338867188 y=0.664169311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438522338867188 × 215)
    floor (0.438522338867188 × 32768)
    floor (14369.5)     		tx = 14369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664169311523438 × 215)
    floor (0.664169311523438 × 32768)
    floor (21763.5)     		ty = 21763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14369 / 21763 ti = "15/14369/21763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14369/21763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14369 ÷ 215
    14369 ÷ 32768     		x = 0.438507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21763 ÷ 215
    21763 ÷ 32768     		y = 0.664154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.12298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38637141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.32830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03141033222513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38637141} λ = -0.38637141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03141033222513))-π/2
    2×atan(0.356503817031232)-π/2
    2×0.342457075235482-π/2
    0.684914150470964-1.57079632675     		φ = -0.88588218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38637141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88588218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.757310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14369 KachelY 21763 -0.38637141 -0.88588218 -22.137451 -50.757310
    Oben rechts KachelX + 1 14370 KachelY 21763 -0.38617966 -0.88588218 -22.126465 -50.757310
    Unten links KachelX 14369 KachelY + 1 21764 -0.38637141 -0.88600347 -22.137451 -50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 14370 KachelY + 1 21764 -0.38617966 -0.88600347 -22.126465 -50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88588218--0.88600347) × R
    0.000121290000000052 × 6371000     		dl = 772.738590000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88588218--0.88600347) × R
    0.000121290000000052 × 6371000     		dr = 772.738590000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38637141--0.38617966) × cos(-0.88588218) × R
    0.000191750000000046 × 0.632606522827538 × 6371000     		do = 772.816958092327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38637141--0.38617966) × cos(-0.88600347) × R
    0.000191750000000046 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 772.702196657407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88588218)-sin(-0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632606522827538-0.632512582300562)×R²
    abs(-0.38617966--0.38637141)×9.39405269757554e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39405269757554e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39405269757554e-05×40589641000000     		ar = 597141.146961223m²