Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14368 / 11169
↖ ↑ ↗
← N 49.603591°
W 22.148438°		 ← 791.71 m → N 49.603591°
W 22.137451°		 →
↑
791.79 m
↓
↑
791.79 m
↓
N 49.596470°
W 22.148438°		 ← 791.83 m →
626 912 m²		 N 49.596470°
W 22.137451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438491821289062 y=0.340866088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438491821289062 × 215)
    floor (0.438491821289062 × 32768)
    floor (14368.5)     		tx = 14368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340866088867188 × 215)
    floor (0.340866088867188 × 32768)
    floor (11169.5)     		ty = 11169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14368 / 11169 ti = "15/14368/11169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14368/11169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14368 ÷ 215
    14368 ÷ 32768     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11169 ÷ 215
    11169 ÷ 32768     		y = 0.340850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340850830078125 × 2 - 1) × π
    0.31829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999963726074371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999963726074371))-π/2
    2×atan(2.71818322749449)-π/2
    2×1.21827115111866-π/2
    2.43654230223732-1.57079632675     		φ = 0.86574598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86574598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.603591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14368 KachelY 11169 -0.38656316 0.86574598 -22.148438 49.603591
    Oben rechts KachelX + 1 14369 KachelY 11169 -0.38637141 0.86574598 -22.137451 49.603591
    Unten links KachelX 14368 KachelY + 1 11170 -0.38656316 0.86562170 -22.148438 49.596470
    Unten rechts KachelX + 1 14369 KachelY + 1 11170 -0.38637141 0.86562170 -22.137451 49.596470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86574598-0.86562170) × R
    0.000124279999999977 × 6371000     		dl = 791.787879999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86574598-0.86562170) × R
    0.000124279999999977 × 6371000     		dr = 791.787879999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38637141) × cos(0.86574598) × R
    0.000191749999999991 × 0.64807217341486 × 6371000     		do = 791.710403876361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38637141) × cos(0.86562170) × R
    0.000191749999999991 × 0.648166817438432 × 6371000     		du = 791.826024730334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86574598)-sin(0.86562170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64807217341486-0.648166817438432)×R²
    abs(-0.38637141--0.38656316)×9.46440235717327e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46440235717327e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46440235717327e-05×40589641000000     		ar = 626912.476661962m²