Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14367 / 21753
↖ ↑ ↗
← S 50.687758°
W 22.159424°		 ← 773.96 m → S 50.687758°
W 22.148438°		 →
↑
773.89 m
↓
↑
773.89 m
↓
S 50.694718°
W 22.159424°		 ← 773.85 m →
598 916 m²		 S 50.694718°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438461303710938 y=0.663864135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438461303710938 × 215)
    floor (0.438461303710938 × 32768)
    floor (14367.5)     		tx = 14367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663864135742188 × 215)
    floor (0.663864135742188 × 32768)
    floor (21753.5)     		ty = 21753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14367 / 21753 ti = "15/14367/21753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14367/21753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14367 ÷ 215
    14367 ÷ 32768     		x = 0.438446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21753 ÷ 215
    21753 ÷ 32768     		y = 0.663848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.12310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38675491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.32769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02949285624033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38675491} λ = -0.38675491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02949285624033))-π/2
    2×atan(0.357188060339288)-π/2
    2×0.343064029559367-π/2
    0.686128059118734-1.57079632675     		φ = -0.88466827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38675491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.159424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88466827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.687758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14367 KachelY 21753 -0.38675491 -0.88466827 -22.159424 -50.687758
    Oben rechts KachelX + 1 14368 KachelY 21753 -0.38656316 -0.88466827 -22.148438 -50.687758
    Unten links KachelX 14367 KachelY + 1 21754 -0.38675491 -0.88478974 -22.159424 -50.694718
    Unten rechts KachelX + 1 14368 KachelY + 1 21754 -0.38656316 -0.88478974 -22.148438 -50.694718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88466827--0.88478974) × R
    0.000121469999999957 × 6371000     		dl = 773.885369999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88466827--0.88478974) × R
    0.000121469999999957 × 6371000     		dr = 773.885369999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38675491--0.38656316) × cos(-0.88466827) × R
    0.000191749999999991 × 0.633546197457282 × 6371000     		do = 773.964901502027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38675491--0.38656316) × cos(-0.88478974) × R
    0.000191749999999991 × 0.633452210853778 × 6371000     		du = 773.850083778213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88466827)-sin(-0.88478974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633546197457282-0.633452210853778)×R²
    abs(-0.38656316--0.38675491)×9.39866035037928e-05×R²
    0.000191749999999991×9.39866035037928e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.39866035037928e-05×40589641000000     		ar = 598915.687023451m²