Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14367 / 10600
↖ ↑ ↗
← N 53.488046°
W 22.159424°		 ← 726.86 m → N 53.488046°
W 22.148438°		 →
↑
726.93 m
↓
↑
726.93 m
↓
N 53.481508°
W 22.159424°		 ← 726.98 m →
528 421 m²		 N 53.481508°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438461303710938 y=0.323501586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438461303710938 × 215)
    floor (0.438461303710938 × 32768)
    floor (14367.5)     		tx = 14367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323501586914062 × 215)
    floor (0.323501586914062 × 32768)
    floor (10600.5)     		ty = 10600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14367 / 10600 ti = "15/14367/10600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14367/10600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14367 ÷ 215
    14367 ÷ 32768     		x = 0.438446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10600 ÷ 215
    10600 ÷ 32768     		y = 0.323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.12310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38675491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323486328125 × 2 - 1) × π
    0.35302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10906810960962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38675491} λ = -0.38675491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10906810960962))-π/2
    2×atan(3.03153202214606)-π/2
    2×1.25216941591844-π/2
    2.50433883183687-1.57079632675     		φ = 0.93354251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38675491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.159424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93354251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.488046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14367 KachelY 10600 -0.38675491 0.93354251 -22.159424 53.488046
    Oben rechts KachelX + 1 14368 KachelY 10600 -0.38656316 0.93354251 -22.148438 53.488046
    Unten links KachelX 14367 KachelY + 1 10601 -0.38675491 0.93342841 -22.159424 53.481508
    Unten rechts KachelX + 1 14368 KachelY + 1 10601 -0.38656316 0.93342841 -22.148438 53.481508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93354251-0.93342841) × R
    0.000114100000000006 × 6371000     		dl = 726.931100000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93354251-0.93342841) × R
    0.000114100000000006 × 6371000     		dr = 726.931100000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38675491--0.38656316) × cos(0.93354251) × R
    0.000191749999999991 × 0.594990490351902 × 6371000     		do = 726.863736390594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38675491--0.38656316) × cos(0.93342841) × R
    0.000191749999999991 × 0.595082192384235 × 6371000     		du = 726.975763192597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93354251)-sin(0.93342841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594990490351902-0.595082192384235)×R²
    abs(-0.38656316--0.38675491)×9.17020323329965e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17020323329965e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17020323329965e-05×40589641000000     		ar = 528420.573900901m²