Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14366 / 10254
↖ ↑ ↗
← N 76.823297°
W101.085205°		 ← 139.23 m → N 76.823297°
W101.079712°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 76.822045°
W101.085205°		 ← 139.25 m →
19 392 m²		 N 76.822045°
W101.079712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219215393066406 y=0.156471252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219215393066406 × 216)
    floor (0.219215393066406 × 65536)
    floor (14366.5)     		tx = 14366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156471252441406 × 216)
    floor (0.156471252441406 × 65536)
    floor (10254.5)     		ty = 10254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14366 / 10254 ti = "16/14366/10254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14366/10254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14366 ÷ 216
    14366 ÷ 65536     		x = 0.219207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10254 ÷ 216
    10254 ÷ 65536     		y = 0.156463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.56158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76426965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156463623046875 × 2 - 1) × π
    0.68707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15850271609189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76426965} λ = -1.76426965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15850271609189))-π/2
    2×atan(8.6581642184676)-π/2
    2×1.45580790212107-π/2
    2.91161580424215-1.57079632675     		φ = 1.34081948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76426965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34081948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.823297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14366 KachelY 10254 -1.76426965 1.34081948 -101.085205 76.823297
    Oben rechts KachelX + 1 14367 KachelY 10254 -1.76417378 1.34081948 -101.079712 76.823297
    Unten links KachelX 14366 KachelY + 1 10255 -1.76426965 1.34079762 -101.085205 76.822045
    Unten rechts KachelX + 1 14367 KachelY + 1 10255 -1.76417378 1.34079762 -101.079712 76.822045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34081948-1.34079762) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dl = 139.270059999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34081948-1.34079762) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dr = 139.270059999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76426965--1.76417378) × cos(1.34081948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227954979976339 × 6371000     		do = 139.232113880139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76426965--1.76417378) × cos(1.34079762) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227976264384647 × 6371000     		du = 139.245114136426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34081948)-sin(1.34079762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227954979976339-0.227976264384647)×R²
    abs(-1.76417378--1.76426965)×2.12844083081754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12844083081754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12844083081754e-05×40589641000000     		ar = 19391.77012806m²