Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14365 / 21806
↖ ↑ ↗
← S 51.055207°
W 22.181396°		 ← 767.89 m → S 51.055207°
W 22.170410°		 →
↑
767.83 m
↓
↑
767.83 m
↓
S 51.062113°
W 22.181396°		 ← 767.77 m →
589 565 m²		 S 51.062113°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438400268554688 y=0.665481567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438400268554688 × 215)
    floor (0.438400268554688 × 32768)
    floor (14365.5)     		tx = 14365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665481567382812 × 215)
    floor (0.665481567382812 × 32768)
    floor (21806.5)     		ty = 21806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14365 / 21806 ti = "15/14365/21806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14365/21806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14365 ÷ 215
    14365 ÷ 32768     		x = 0.438385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21806 ÷ 215
    21806 ÷ 32768     		y = 0.66546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38713840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.3309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03965547895978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38713840} λ = -0.38713840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03965547895978))-π/2
    2×atan(0.353576475512496)-π/2
    2×0.339857429233448-π/2
    0.679714858466896-1.57079632675     		φ = -0.89108147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38713840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89108147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.055207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14365 KachelY 21806 -0.38713840 -0.89108147 -22.181396 -51.055207
    Oben rechts KachelX + 1 14366 KachelY 21806 -0.38694665 -0.89108147 -22.170410 -51.055207
    Unten links KachelX 14365 KachelY + 1 21807 -0.38713840 -0.89120199 -22.181396 -51.062113
    Unten rechts KachelX + 1 14366 KachelY + 1 21807 -0.38694665 -0.89120199 -22.170410 -51.062113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89108147--0.89120199) × R
    0.000120519999999957 × 6371000     		dl = 767.832919999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89108147--0.89120199) × R
    0.000120519999999957 × 6371000     		dr = 767.832919999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38713840--0.38694665) × cos(-0.89108147) × R
    0.000191749999999991 × 0.628571278881721 × 6371000     		do = 767.887345704569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38713840--0.38694665) × cos(-0.89120199) × R
    0.000191749999999991 × 0.628477539647912 × 6371000     		du = 767.772830177283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89108147)-sin(-0.89120199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628571278881721-0.628477539647912)×R²
    abs(-0.38694665--0.38713840)×9.37392338088427e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37392338088427e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37392338088427e-05×40589641000000     		ar = 589565.219201139m²