Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14365 / 11293
↖ ↑ ↗
← N 48.712712°
W 22.181396°		 ← 806.08 m → N 48.712712°
W 22.170410°		 →
↑
806.12 m
↓
↑
806.12 m
↓
N 48.705463°
W 22.181396°		 ← 806.20 m →
649 846 m²		 N 48.705463°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438400268554688 y=0.344650268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438400268554688 × 215)
    floor (0.438400268554688 × 32768)
    floor (14365.5)     		tx = 14365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344650268554688 × 215)
    floor (0.344650268554688 × 32768)
    floor (11293.5)     		ty = 11293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14365 / 11293 ti = "15/14365/11293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14365/11293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14365 ÷ 215
    14365 ÷ 32768     		x = 0.438385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11293 ÷ 215
    11293 ÷ 32768     		y = 0.344635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38713840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344635009765625 × 2 - 1) × π
    0.31072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.976187023862824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38713840} λ = -0.38713840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976187023862824))-π/2
    2×atan(2.65431607824693)-π/2
    2×1.21049677445025-π/2
    2.4209935489005-1.57079632675     		φ = 0.85019722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38713840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85019722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.712712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14365 KachelY 11293 -0.38713840 0.85019722 -22.181396 48.712712
    Oben rechts KachelX + 1 14366 KachelY 11293 -0.38694665 0.85019722 -22.170410 48.712712
    Unten links KachelX 14365 KachelY + 1 11294 -0.38713840 0.85007069 -22.181396 48.705463
    Unten rechts KachelX + 1 14366 KachelY + 1 11294 -0.38694665 0.85007069 -22.170410 48.705463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85019722-0.85007069) × R
    0.000126529999999958 × 6371000     		dl = 806.122629999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85019722-0.85007069) × R
    0.000126529999999958 × 6371000     		dr = 806.122629999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38713840--0.38694665) × cos(0.85019722) × R
    0.000191749999999991 × 0.659834965529178 × 6371000     		do = 806.080292412802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38713840--0.38694665) × cos(0.85007069) × R
    0.000191749999999991 × 0.659930036224194 × 6371000     		du = 806.196434505358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85019722)-sin(0.85007069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659834965529178-0.659930036224194)×R²
    abs(-0.38694665--0.38713840)×9.50706950155755e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50706950155755e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50706950155755e-05×40589641000000     		ar = 649846.378562723m²