Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14364 / 21820
↖ ↑ ↗
← S 51.151786°
W 22.192383°		 ← 766.28 m → S 51.151786°
W 22.181396°		 →
↑
766.18 m
↓
↑
766.18 m
↓
S 51.158677°
W 22.192383°		 ← 766.17 m →
587 065 m²		 S 51.158677°
W 22.181396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438369750976562 y=0.665908813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438369750976562 × 215)
    floor (0.438369750976562 × 32768)
    floor (14364.5)     		tx = 14364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665908813476562 × 215)
    floor (0.665908813476562 × 32768)
    floor (21820.5)     		ty = 21820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14364 / 21820 ti = "15/14364/21820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14364/21820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14364 ÷ 215
    14364 ÷ 32768     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21820 ÷ 215
    21820 ÷ 32768     		y = 0.6658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0423399453385))-π/2
    2×atan(0.352628584212076)-π/2
    2×0.339014620533875-π/2
    0.67802924106775-1.57079632675     		φ = -0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14364 KachelY 21820 -0.38733015 -0.89276709 -22.192383 -51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 14365 KachelY 21820 -0.38713840 -0.89276709 -22.181396 -51.151786
    Unten links KachelX 14364 KachelY + 1 21821 -0.38733015 -0.89288735 -22.192383 -51.158677
    Unten rechts KachelX + 1 14365 KachelY + 1 21821 -0.38713840 -0.89288735 -22.181396 -51.158677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89276709--0.89288735) × R
    0.000120259999999983 × 6371000     		dl = 766.176459999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89276709--0.89288735) × R
    0.000120259999999983 × 6371000     		dr = 766.176459999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38713840) × cos(-0.89276709) × R
    0.000191749999999991 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 766.284693467558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38713840) × cos(-0.89288735) × R
    0.000191749999999991 × 0.627165727944857 × 6371000     		du = 766.170269512222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89276709)-sin(-0.89288735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.627165727944857)×R²
    abs(-0.38713840--0.38733015)×9.36642755514638e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36642755514638e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36642755514638e-05×40589641000000     		ar = 587065.460029615m²