Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14364 / 10596
↖ ↑ ↗
← N 53.514185°
W 22.192383°		 ← 726.42 m → N 53.514185°
W 22.181396°		 →
↑
726.49 m
↓
↑
726.49 m
↓
N 53.507651°
W 22.192383°		 ← 726.53 m →
527 771 m²		 N 53.507651°
W 22.181396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438369750976562 y=0.323379516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438369750976562 × 215)
    floor (0.438369750976562 × 32768)
    floor (14364.5)     		tx = 14364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323379516601562 × 215)
    floor (0.323379516601562 × 32768)
    floor (10596.5)     		ty = 10596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14364 / 10596 ti = "15/14364/10596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14364/10596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14364 ÷ 215
    14364 ÷ 32768     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10596 ÷ 215
    10596 ÷ 32768     		y = 0.3233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3233642578125 × 2 - 1) × π
    0.353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10983510000354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10983510000354))-π/2
    2×atan(3.03385807000006)-π/2
    2×1.25239752159164-π/2
    2.50479504318327-1.57079632675     		φ = 0.93399872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93399872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.514185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14364 KachelY 10596 -0.38733015 0.93399872 -22.192383 53.514185
    Oben rechts KachelX + 1 14365 KachelY 10596 -0.38713840 0.93399872 -22.181396 53.514185
    Unten links KachelX 14364 KachelY + 1 10597 -0.38733015 0.93388469 -22.192383 53.507651
    Unten rechts KachelX + 1 14365 KachelY + 1 10597 -0.38713840 0.93388469 -22.181396 53.507651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93399872-0.93388469) × R
    0.000114029999999987 × 6371000     		dl = 726.485129999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93399872-0.93388469) × R
    0.000114029999999987 × 6371000     		dr = 726.485129999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38713840) × cos(0.93399872) × R
    0.000191749999999991 × 0.594623757534618 × 6371000     		do = 726.415721186737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38713840) × cos(0.93388469) × R
    0.000191749999999991 × 0.594715434255629 × 6371000     		du = 726.527717067435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93399872)-sin(0.93388469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594623757534618-0.594715434255629)×R²
    abs(-0.38713840--0.38733015)×9.16767210110692e-05×R²
    0.000191749999999991×9.16767210110692e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.16767210110692e-05×40589641000000     		ar = 527770.901883318m²