Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14363 / 14330
↖ ↑ ↗
← N 70.623552°
W101.101685°		 ← 202.66 m → N 70.623552°
W101.096191°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 70.621729°
W101.101685°		 ← 202.68 m →
41 074 m²		 N 70.621729°
W101.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219169616699219 y=0.218666076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219169616699219 × 216)
    floor (0.219169616699219 × 65536)
    floor (14363.5)     		tx = 14363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218666076660156 × 216)
    floor (0.218666076660156 × 65536)
    floor (14330.5)     		ty = 14330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14363 / 14330 ti = "16/14363/14330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14363/14330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14363 ÷ 216
    14363 ÷ 65536     		x = 0.219161987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14330 ÷ 216
    14330 ÷ 65536     		y = 0.218658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219161987304688 × 2 - 1) × π
    -0.561676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76455728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218658447265625 × 2 - 1) × π
    0.56268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76772111038919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76455728} λ = -1.76455728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76772111038919))-π/2
    2×atan(5.85748956773957)-π/2
    2×1.40170492035545-π/2
    2.80340984071089-1.57079632675     		φ = 1.23261351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76455728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.101685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23261351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.623552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14363 KachelY 14330 -1.76455728 1.23261351 -101.101685 70.623552
    Oben rechts KachelX + 1 14364 KachelY 14330 -1.76446140 1.23261351 -101.096191 70.623552
    Unten links KachelX 14363 KachelY + 1 14331 -1.76455728 1.23258170 -101.101685 70.621729
    Unten rechts KachelX + 1 14364 KachelY + 1 14331 -1.76446140 1.23258170 -101.096191 70.621729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23261351-1.23258170) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23261351-1.23258170) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76455728--1.76446140) × cos(1.23261351) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331773384526086 × 6371000     		do = 202.664262962236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76455728--1.76446140) × cos(1.23258170) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331803392611697 × 6371000     		du = 202.682593445743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23261351)-sin(1.23258170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331773384526086-0.331803392611697)×R²
    abs(-1.76446140--1.76455728)×3.00080856110996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00080856110996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00080856110996e-05×40589641000000     		ar = 41074.1030005881m²