Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14362 / 21822
↖ ↑ ↗
← S 51.165567°
W 22.214355°		 ← 766.02 m → S 51.165567°
W 22.203369°		 →
↑
765.99 m
↓
↑
765.99 m
↓
S 51.172455°
W 22.214355°		 ← 765.90 m →
586 713 m²		 S 51.172455°
W 22.203369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438308715820312 y=0.665969848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438308715820312 × 215)
    floor (0.438308715820312 × 32768)
    floor (14362.5)     		tx = 14362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665969848632812 × 215)
    floor (0.665969848632812 × 32768)
    floor (21822.5)     		ty = 21822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14362 / 21822 ti = "15/14362/21822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14362/21822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14362 ÷ 215
    14362 ÷ 32768     		x = 0.43829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21822 ÷ 215
    21822 ÷ 32768     		y = 0.66595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38771364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.3319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04272344053546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38771364} λ = -0.38771364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04272344053546))-π/2
    2×atan(0.352493378770695)-π/2
    2×0.338894363011868-π/2
    0.677788726023736-1.57079632675     		φ = -0.89300760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38771364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89300760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.165567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14362 KachelY 21822 -0.38771364 -0.89300760 -22.214355 -51.165567
    Oben rechts KachelX + 1 14363 KachelY 21822 -0.38752190 -0.89300760 -22.203369 -51.165567
    Unten links KachelX 14362 KachelY + 1 21823 -0.38771364 -0.89312783 -22.214355 -51.172455
    Unten rechts KachelX + 1 14363 KachelY + 1 21823 -0.38752190 -0.89312783 -22.203369 -51.172455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89300760--0.89312783) × R
    0.000120229999999943 × 6371000     		dl = 765.98532999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89300760--0.89312783) × R
    0.000120229999999943 × 6371000     		dr = 765.98532999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38771364--0.38752190) × cos(-0.89300760) × R
    0.000191740000000051 × 0.627072062388554 × 6371000     		do = 766.015893231417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38771364--0.38752190) × cos(-0.89312783) × R
    0.000191740000000051 × 0.626978403345483 × 6371000     		du = 765.901481635301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89300760)-sin(-0.89312783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627072062388554-0.626978403345483)×R²
    abs(-0.38752190--0.38771364)×9.3659043071348e-05×R²
    0.000191740000000051×9.3659043071348e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.3659043071348e-05×40589641000000     		ar = 586713.118666476m²