Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14361 / 11081
↖ ↑ ↗
← N 50.226124°
W 22.225342°		 ← 781.56 m → N 50.226124°
W 22.214355°		 →
↑
781.59 m
↓
↑
781.59 m
↓
N 50.219095°
W 22.225342°		 ← 781.67 m →
610 904 m²		 N 50.219095°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438278198242188 y=0.338180541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438278198242188 × 215)
    floor (0.438278198242188 × 32768)
    floor (14361.5)     		tx = 14361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338180541992188 × 215)
    floor (0.338180541992188 × 32768)
    floor (11081.5)     		ty = 11081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14361 / 11081 ti = "15/14361/11081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14361/11081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14361 ÷ 215
    14361 ÷ 32768     		x = 0.438262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11081 ÷ 215
    11081 ÷ 32768     		y = 0.338165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.12347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38790539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338165283203125 × 2 - 1) × π
    0.32366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01683751474063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38790539} λ = -0.38790539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01683751474063))-π/2
    2×atan(2.764438429589)-π/2
    2×1.22370377831484-π/2
    2.44740755662969-1.57079632675     		φ = 0.87661123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38790539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.225342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87661123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.226124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14361 KachelY 11081 -0.38790539 0.87661123 -22.225342 50.226124
    Oben rechts KachelX + 1 14362 KachelY 11081 -0.38771364 0.87661123 -22.214355 50.226124
    Unten links KachelX 14361 KachelY + 1 11082 -0.38790539 0.87648855 -22.225342 50.219095
    Unten rechts KachelX + 1 14362 KachelY + 1 11082 -0.38771364 0.87648855 -22.214355 50.219095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87661123-0.87648855) × R
    0.000122679999999931 × 6371000     		dl = 781.594279999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87661123-0.87648855) × R
    0.000122679999999931 × 6371000     		dr = 781.594279999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38790539--0.38771364) × cos(0.87661123) × R
    0.000191749999999991 × 0.639759337547655 × 6371000     		do = 781.555117302176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38790539--0.38771364) × cos(0.87648855) × R
    0.000191749999999991 × 0.639853621550772 × 6371000     		du = 781.67029834103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87661123)-sin(0.87648855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639759337547655-0.639853621550772)×R²
    abs(-0.38771364--0.38790539)×9.42840031163961e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42840031163961e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42840031163961e-05×40589641000000     		ar = 610904.022374634m²