Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14360 / 21811
↖ ↑ ↗
← S 51.089723°
W 22.236328°		 ← 767.31 m → S 51.089723°
W 22.225342°		 →
↑
767.26 m
↓
↑
767.26 m
↓
S 51.096623°
W 22.236328°		 ← 767.20 m →
588 686 m²		 S 51.096623°
W 22.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438247680664062 y=0.665634155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438247680664062 × 215)
    floor (0.438247680664062 × 32768)
    floor (14360.5)     		tx = 14360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665634155273438 × 215)
    floor (0.665634155273438 × 32768)
    floor (21811.5)     		ty = 21811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14360 / 21811 ti = "15/14360/21811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14360/21811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14360 ÷ 215
    14360 ÷ 32768     		x = 0.438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21811 ÷ 215
    21811 ÷ 32768     		y = 0.665618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.33123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04061421695218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38809714} λ = -0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04061421695218))-π/2
    2×atan(0.353237650760238)-π/2
    2×0.339556223980422-π/2
    0.679112447960843-1.57079632675     		φ = -0.89168388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89168388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.089723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14360 KachelY 21811 -0.38809714 -0.89168388 -22.236328 -51.089723
    Oben rechts KachelX + 1 14361 KachelY 21811 -0.38790539 -0.89168388 -22.225342 -51.089723
    Unten links KachelX 14360 KachelY + 1 21812 -0.38809714 -0.89180431 -22.236328 -51.096623
    Unten rechts KachelX + 1 14361 KachelY + 1 21812 -0.38790539 -0.89180431 -22.225342 -51.096623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89168388--0.89180431) × R
    0.00012043000000006 × 6371000     		dl = 767.259530000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89168388--0.89180431) × R
    0.00012043000000006 × 6371000     		dr = 767.259530000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38809714--0.38790539) × cos(-0.89168388) × R
    0.000191749999999991 × 0.628102639284296 × 6371000     		do = 767.31483717825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38809714--0.38790539) × cos(-0.89180431) × R
    0.000191749999999991 × 0.628008924473639 × 6371000     		du = 767.200351487246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89168388)-sin(-0.89180431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628102639284296-0.628008924473639)×R²
    abs(-0.38790539--0.38809714)×9.37148106564534e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37148106564534e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37148106564534e-05×40589641000000     		ar = 588685.70192832m²