Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14360 / 18360
↖ ↑ ↗
← N 78.102826°
W140.559082°		 ← 62.95 m → N 78.102826°
W140.556336°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.102260°
W140.559082°		 ← 62.96 m →
3 963 m²		 N 78.102260°
W140.556336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109561920166016 y=0.140079498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109561920166016 × 217)
    floor (0.109561920166016 × 131072)
    floor (14360.5)     		tx = 14360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140079498291016 × 217)
    floor (0.140079498291016 × 131072)
    floor (18360.5)     		ty = 18360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14360 / 18360 ti = "17/14360/18360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14360/18360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14360 ÷ 217
    14360 ÷ 131072     		x = 0.10955810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18360 ÷ 217
    18360 ÷ 131072     		y = 0.14007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.7808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45321877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14007568359375 × 2 - 1) × π
    0.7198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26147117647577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45321877} λ = -2.45321877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26147117647577))-π/2
    2×atan(9.59719795782777)-π/2
    2×1.46697389991144-π/2
    2.93394779982289-1.57079632675     		φ = 1.36315147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45321877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36315147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.102826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14360 KachelY 18360 -2.45321877 1.36315147 -140.559082 78.102826
    Oben rechts KachelX + 1 14361 KachelY 18360 -2.45317084 1.36315147 -140.556336 78.102826
    Unten links KachelX 14360 KachelY + 1 18361 -2.45321877 1.36314159 -140.559082 78.102260
    Unten rechts KachelX + 1 14361 KachelY + 1 18361 -2.45317084 1.36314159 -140.556336 78.102260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36315147-1.36314159) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dl = 62.9454800008198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36315147-1.36314159) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dr = 62.9454800008198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45321877--2.45317084) × cos(1.36315147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20615592098034 × 6371000     		do = 62.9521905271148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45321877--2.45317084) × cos(1.36314159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206165588739527 × 6371000     		du = 62.9551426936858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36315147)-sin(1.36314159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20615592098034-0.206165588739527)×R²
    abs(-2.45317084--2.45321877)×9.66775918717633e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.66775918717633e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.66775918717633e-06×40589641000000     		ar = 3962.64876263615m²