Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14359 / 21815
↖ ↑ ↗
← S 51.117317°
W 22.247315°		 ← 766.86 m → S 51.117317°
W 22.236328°		 →
↑
766.81 m
↓
↑
766.81 m
↓
S 51.124213°
W 22.247315°		 ← 766.74 m →
587 992 m²		 S 51.124213°
W 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438217163085938 y=0.665756225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438217163085938 × 215)
    floor (0.438217163085938 × 32768)
    floor (14359.5)     		tx = 14359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665756225585938 × 215)
    floor (0.665756225585938 × 32768)
    floor (21815.5)     		ty = 21815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14359 / 21815 ti = "15/14359/21815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14359/21815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14359 ÷ 215
    14359 ÷ 32768     		x = 0.438201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21815 ÷ 215
    21815 ÷ 32768     		y = 0.665740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.12359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38828889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.33148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0413812073461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38828889} λ = -0.38828889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0413812073461))-π/2
    2×atan(0.352966824749085)-π/2
    2×0.33931542150887-π/2
    0.678630843017739-1.57079632675     		φ = -0.89216548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38828889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.247315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89216548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.117317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14359 KachelY 21815 -0.38828889 -0.89216548 -22.247315 -51.117317
    Oben rechts KachelX + 1 14360 KachelY 21815 -0.38809714 -0.89216548 -22.236328 -51.117317
    Unten links KachelX 14359 KachelY + 1 21816 -0.38828889 -0.89228584 -22.247315 -51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 14360 KachelY + 1 21816 -0.38809714 -0.89228584 -22.236328 -51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89216548--0.89228584) × R
    0.000120360000000042 × 6371000     		dl = 766.813560000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89216548--0.89228584) × R
    0.000120360000000042 × 6371000     		dr = 766.813560000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38828889--0.38809714) × cos(-0.89216548) × R
    0.000191749999999991 × 0.62772781880953 × 6371000     		do = 766.856941774572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38828889--0.38809714) × cos(-0.89228584) × R
    0.000191749999999991 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 766.742478170561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89216548)-sin(-0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62772781880953-0.627634122078673)×R²
    abs(-0.38809714--0.38828889)×9.36967308565739e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36967308565739e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36967308565739e-05×40589641000000     		ar = 587992.41612061m²