Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14358 / 21790
↖ ↑ ↗
← S 50.944584°
W 22.258301°		 ← 769.68 m → S 50.944584°
W 22.247315°		 →
↑
769.68 m
↓
↑
769.68 m
↓
S 50.951506°
W 22.258301°		 ← 769.57 m →
592 364 m²		 S 50.951506°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438186645507812 y=0.664993286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438186645507812 × 215)
    floor (0.438186645507812 × 32768)
    floor (14358.5)     		tx = 14358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664993286132812 × 215)
    floor (0.664993286132812 × 32768)
    floor (21790.5)     		ty = 21790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14358 / 21790 ti = "15/14358/21790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14358/21790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14358 ÷ 215
    14358 ÷ 32768     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21790 ÷ 215
    21790 ÷ 32768     		y = 0.66497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.3299560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03658751738409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03658751738409))-π/2
    2×atan(0.354662900255964)-π/2
    2×0.340822796181715-π/2
    0.68164559236343-1.57079632675     		φ = -0.88915073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88915073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.944584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14358 KachelY 21790 -0.38848063 -0.88915073 -22.258301 -50.944584
    Oben rechts KachelX + 1 14359 KachelY 21790 -0.38828889 -0.88915073 -22.247315 -50.944584
    Unten links KachelX 14358 KachelY + 1 21791 -0.38848063 -0.88927154 -22.258301 -50.951506
    Unten rechts KachelX + 1 14359 KachelY + 1 21791 -0.38828889 -0.88927154 -22.247315 -50.951506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88915073--0.88927154) × R
    0.000120809999999971 × 6371000     		dl = 769.680509999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88915073--0.88927154) × R
    0.000120809999999971 × 6371000     		dr = 769.680509999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38828889) × cos(-0.88915073) × R
    0.000191739999999996 × 0.630071743232689 × 6371000     		do = 769.680229978196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38828889) × cos(-0.88927154) × R
    0.000191739999999996 × 0.629977925208848 × 6371000     		du = 769.565624175061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88915073)-sin(-0.88927154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630071743232689-0.629977925208848)×R²
    abs(-0.38828889--0.38848063)×9.3818023841008e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3818023841008e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3818023841008e-05×40589641000000     		ar = 592363.767741188m²