Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14358 / 21402
↖ ↑ ↗
← S 48.180738°
W 22.258301°		 ← 814.53 m → S 48.180738°
W 22.247315°		 →
↑
814.53 m
↓
↑
814.53 m
↓
S 48.188064°
W 22.258301°		 ← 814.41 m →
663 410 m²		 S 48.188064°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438186645507812 y=0.653152465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438186645507812 × 215)
    floor (0.438186645507812 × 32768)
    floor (14358.5)     		tx = 14358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653152465820312 × 215)
    floor (0.653152465820312 × 32768)
    floor (21402.5)     		ty = 21402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14358 / 21402 ti = "15/14358/21402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14358/21402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14358 ÷ 215
    14358 ÷ 32768     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21402 ÷ 215
    21402 ÷ 32768     		y = 0.65313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.3062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.962189449173767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962189449173767))-π/2
    2×atan(0.382055478527317)-π/2
    2×0.364941901909182-π/2
    0.729883803818364-1.57079632675     		φ = -0.84091252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84091252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.180738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14358 KachelY 21402 -0.38848063 -0.84091252 -22.258301 -48.180738
    Oben rechts KachelX + 1 14359 KachelY 21402 -0.38828889 -0.84091252 -22.247315 -48.180738
    Unten links KachelX 14358 KachelY + 1 21403 -0.38848063 -0.84104037 -22.258301 -48.188064
    Unten rechts KachelX + 1 14359 KachelY + 1 21403 -0.38828889 -0.84104037 -22.247315 -48.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84091252--0.84104037) × R
    0.000127849999999929 × 6371000     		dl = 814.53234999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84091252--0.84104037) × R
    0.000127849999999929 × 6371000     		dr = 814.53234999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38828889) × cos(-0.84091252) × R
    0.000191739999999996 × 0.666783046300066 × 6371000     		do = 814.52585984683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38828889) × cos(-0.84104037) × R
    0.000191739999999996 × 0.666687760397588 × 6371000     		du = 814.409460919056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84091252)-sin(-0.84104037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666783046300066-0.666687760397588)×R²
    abs(-0.38828889--0.38848063)×9.52859024783148e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52859024783148e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52859024783148e-05×40589641000000     		ar = 663410.258313341m²