Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14357 / 21773
↖ ↑ ↗
← S 50.826758°
W 22.269287°		 ← 771.67 m → S 50.826758°
W 22.258301°		 →
↑
771.66 m
↓
↑
771.66 m
↓
S 50.833698°
W 22.269287°		 ← 771.55 m →
595 419 m²		 S 50.833698°
W 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438156127929688 y=0.664474487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438156127929688 × 215)
    floor (0.438156127929688 × 32768)
    floor (14357.5)     		tx = 14357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664474487304688 × 215)
    floor (0.664474487304688 × 32768)
    floor (21773.5)     		ty = 21773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14357 / 21773 ti = "15/14357/21773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14357/21773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14357 ÷ 215
    14357 ÷ 32768     		x = 0.438140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21773 ÷ 215
    21773 ÷ 32768     		y = 0.664459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.12371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38867238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.32891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03332780820993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38867238} λ = -0.38867238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03332780820993))-π/2
    2×atan(0.355820884486207)-π/2
    2×0.341851021590179-π/2
    0.683702043180357-1.57079632675     		φ = -0.88709428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38867238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.269287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88709428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.826758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14357 KachelY 21773 -0.38867238 -0.88709428 -22.269287 -50.826758
    Oben rechts KachelX + 1 14358 KachelY 21773 -0.38848063 -0.88709428 -22.258301 -50.826758
    Unten links KachelX 14357 KachelY + 1 21774 -0.38867238 -0.88721540 -22.269287 -50.833698
    Unten rechts KachelX + 1 14358 KachelY + 1 21774 -0.38848063 -0.88721540 -22.258301 -50.833698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88709428--0.88721540) × R
    0.000121119999999975 × 6371000     		dl = 771.655519999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88709428--0.88721540) × R
    0.000121119999999975 × 6371000     		dr = 771.655519999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38867238--0.38848063) × cos(-0.88709428) × R
    0.000191749999999991 × 0.631667319187842 × 6371000     		do = 771.669590062107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38867238--0.38848063) × cos(-0.88721540) × R
    0.000191749999999991 × 0.631573417537511 × 6371000     		du = 771.554876120424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88709428)-sin(-0.88721540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631667319187842-0.631573417537511)×R²
    abs(-0.38848063--0.38867238)×9.3901650330741e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3901650330741e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3901650330741e-05×40589641000000     		ar = 595418.839692831m²