Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14357 / 10267
↖ ↑ ↗
← N 76.807009°
W101.134644°		 ← 139.42 m → N 76.807009°
W101.129150°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
N 76.805755°
W101.134644°		 ← 139.43 m →
19 435 m²		 N 76.805755°
W101.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219078063964844 y=0.156669616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219078063964844 × 216)
    floor (0.219078063964844 × 65536)
    floor (14357.5)     		tx = 14357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156669616699219 × 216)
    floor (0.156669616699219 × 65536)
    floor (10267.5)     		ty = 10267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14357 / 10267 ti = "16/14357/10267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14357/10267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14357 ÷ 216
    14357 ÷ 65536     		x = 0.219070434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10267 ÷ 216
    10267 ÷ 65536     		y = 0.156661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.561859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76513252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156661987304688 × 2 - 1) × π
    0.686676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15725635670177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76513252} λ = -1.76513252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15725635670177))-π/2
    2×atan(8.64737975624664)-π/2
    2×1.45566575897543-π/2
    2.91133151795087-1.57079632675     		φ = 1.34053519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76513252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.134644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34053519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.807009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14357 KachelY 10267 -1.76513252 1.34053519 -101.134644 76.807009
    Oben rechts KachelX + 1 14358 KachelY 10267 -1.76503664 1.34053519 -101.129150 76.807009
    Unten links KachelX 14357 KachelY + 1 10268 -1.76513252 1.34051331 -101.134644 76.805755
    Unten rechts KachelX + 1 14358 KachelY + 1 10268 -1.76503664 1.34051331 -101.129150 76.805755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34053519-1.34051331) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34053519-1.34051331) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76513252--1.76503664) × cos(1.34053519) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.228231775880819 × 6371000     		do = 139.415718080058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76513252--1.76503664) × cos(1.34051331) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.228253078343593 × 6371000     		du = 139.428730720971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34053519)-sin(1.34051331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228231775880819-0.228253078343593)×R²
    abs(-1.76503664--1.76513252)×2.13024627744307e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.13024627744307e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.13024627744307e-05×40589641000000     		ar = 19435.1067382251m²