Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14355 / 21771
↖ ↑ ↗
← S 50.812877°
W 22.291260°		 ← 771.90 m → S 50.812877°
W 22.280273°		 →
↑
771.78 m
↓
↑
771.78 m
↓
S 50.819818°
W 22.291260°		 ← 771.78 m →
595 694 m²		 S 50.819818°
W 22.280273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438095092773438 y=0.664413452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438095092773438 × 215)
    floor (0.438095092773438 × 32768)
    floor (14355.5)     		tx = 14355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664413452148438 × 215)
    floor (0.664413452148438 × 32768)
    floor (21771.5)     		ty = 21771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14355 / 21771 ti = "15/14355/21771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14355/21771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14355 ÷ 215
    14355 ÷ 32768     		x = 0.438079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21771 ÷ 215
    21771 ÷ 32768     		y = 0.664398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.12384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38905588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.32879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03294431301297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38905588} λ = -0.38905588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03294431301297))-π/2
    2×atan(0.355957366254764)-π/2
    2×0.341972160286364-π/2
    0.683944320572727-1.57079632675     		φ = -0.88685201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38905588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.291260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88685201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.812877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14355 KachelY 21771 -0.38905588 -0.88685201 -22.291260 -50.812877
    Oben rechts KachelX + 1 14356 KachelY 21771 -0.38886413 -0.88685201 -22.280273 -50.812877
    Unten links KachelX 14355 KachelY + 1 21772 -0.38905588 -0.88697315 -22.291260 -50.819818
    Unten rechts KachelX + 1 14356 KachelY + 1 21772 -0.38886413 -0.88697315 -22.280273 -50.819818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88685201--0.88697315) × R
    0.000121139999999964 × 6371000     		dl = 771.782939999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88685201--0.88697315) × R
    0.000121139999999964 × 6371000     		dr = 771.782939999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38905588--0.38886413) × cos(-0.88685201) × R
    0.000191750000000046 × 0.63185511793994 × 6371000     		do = 771.899012388995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38905588--0.38886413) × cos(-0.88697315) × R
    0.000191750000000046 × 0.631761219323209 × 6371000     		du = 771.784302153276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88685201)-sin(-0.88697315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63185511793994-0.631761219323209)×R²
    abs(-0.38886413--0.38905588)×9.38986167307032e-05×R²
    0.000191750000000046×9.38986167307032e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.38986167307032e-05×40589641000000     		ar = 595694.224191329m²