Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14354 / 10605
↖ ↑ ↗
← N 53.455349°
W 22.302246°		 ← 727.39 m → N 53.455349°
W 22.291260°		 →
↑
727.50 m
↓
↑
727.50 m
↓
N 53.448807°
W 22.302246°		 ← 727.50 m →
529 217 m²		 N 53.448807°
W 22.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438064575195312 y=0.323654174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438064575195312 × 215)
    floor (0.438064575195312 × 32768)
    floor (14354.5)     		tx = 14354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323654174804688 × 215)
    floor (0.323654174804688 × 32768)
    floor (10605.5)     		ty = 10605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14354 / 10605 ti = "15/14354/10605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14354/10605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14354 ÷ 215
    14354 ÷ 32768     		x = 0.43804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10605 ÷ 215
    10605 ÷ 32768     		y = 0.323638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38924762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323638916015625 × 2 - 1) × π
    0.35272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10810937161722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38924762} λ = -0.38924762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10810937161722))-π/2
    2×atan(3.02862697003568)-π/2
    2×1.25188408601881-π/2
    2.50376817203762-1.57079632675     		φ = 0.93297185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38924762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93297185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.455349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14354 KachelY 10605 -0.38924762 0.93297185 -22.302246 53.455349
    Oben rechts KachelX + 1 14355 KachelY 10605 -0.38905588 0.93297185 -22.291260 53.455349
    Unten links KachelX 14354 KachelY + 1 10606 -0.38924762 0.93285766 -22.302246 53.448807
    Unten rechts KachelX + 1 14355 KachelY + 1 10606 -0.38905588 0.93285766 -22.291260 53.448807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93297185-0.93285766) × R
    0.000114190000000014 × 6371000     		dl = 727.504490000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93297185-0.93285766) × R
    0.000114190000000014 × 6371000     		dr = 727.504490000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38924762--0.38905588) × cos(0.93297185) × R
    0.000191739999999996 × 0.59544905157191 × 6371000     		do = 727.385996716427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38924762--0.38905588) × cos(0.93285766) × R
    0.000191739999999996 × 0.595540787144384 × 6371000     		du = 727.49805864791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93297185)-sin(0.93285766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59544905157191-0.595540787144384)×R²
    abs(-0.38905588--0.38924762)×9.17355724741054e-05×R²
    0.000191739999999996×9.17355724741054e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.17355724741054e-05×40589641000000     		ar = 529217.341928825m²