Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14353 / 7461
↖ ↑ ↗
← N 69.515303°
W 22.313232°		 ← 427.52 m → N 69.515303°
W 22.302246°		 →
↑
427.56 m
↓
↑
427.56 m
↓
N 69.511457°
W 22.313232°		 ← 427.60 m →
182 807 m²		 N 69.511457°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438034057617188 y=0.227706909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438034057617188 × 215)
    floor (0.438034057617188 × 32768)
    floor (14353.5)     		tx = 14353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227706909179688 × 215)
    floor (0.227706909179688 × 32768)
    floor (7461.5)     		ty = 7461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14353 / 7461 ti = "15/14353/7461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14353/7461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14353 ÷ 215
    14353 ÷ 32768     		x = 0.438018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7461 ÷ 215
    7461 ÷ 32768     		y = 0.227691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.12396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38943937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227691650390625 × 2 - 1) × π
    0.54461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71096382123904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38943937} λ = -0.38943937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71096382123904))-π/2
    2×atan(5.53429297701945)-π/2
    2×1.39203361829123-π/2
    2.78406723658245-1.57079632675     		φ = 1.21327091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38943937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.313232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21327091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.515303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14353 KachelY 7461 -0.38943937 1.21327091 -22.313232 69.515303
    Oben rechts KachelX + 1 14354 KachelY 7461 -0.38924762 1.21327091 -22.302246 69.515303
    Unten links KachelX 14353 KachelY + 1 7462 -0.38943937 1.21320380 -22.313232 69.511457
    Unten rechts KachelX + 1 14354 KachelY + 1 7462 -0.38924762 1.21320380 -22.302246 69.511457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21327091-1.21320380) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dl = 427.557810000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21327091-1.21320380) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dr = 427.557810000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38943937--0.38924762) × cos(1.21327091) × R
    0.000191749999999991 × 0.349957202491144 × 6371000     		do = 427.521454383358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38943937--0.38924762) × cos(1.21320380) × R
    0.000191749999999991 × 0.350020068048437 × 6371000     		du = 427.598253415621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21327091)-sin(1.21320380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349957202491144-0.350020068048437)×R²
    abs(-0.38924762--0.38943937)×6.28655572934567e-05×R²
    0.000191749999999991×6.28655572934567e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.28655572934567e-05×40589641000000     		ar = 182806.554845616m²