Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14351 / 34825
↖ ↑ ↗
← N 64.157334°
W140.583801°		 ← 133.14 m → N 64.157334°
W140.581055°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 64.156137°
W140.583801°		 ← 133.14 m →
17 719 m²		 N 64.156137°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109493255615234 y=0.265697479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109493255615234 × 217)
    floor (0.109493255615234 × 131072)
    floor (14351.5)     		tx = 14351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265697479248047 × 217)
    floor (0.265697479248047 × 131072)
    floor (34825.5)     		ty = 34825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14351 / 34825 ti = "17/14351/34825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14351/34825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14351 ÷ 217
    14351 ÷ 131072     		x = 0.109489440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34825 ÷ 217
    34825 ÷ 131072     		y = 0.265693664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109489440917969 × 2 - 1) × π
    -0.781021118164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.45365021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265693664550781 × 2 - 1) × π
    0.468612670898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.47219012423154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45365021} λ = -2.45365021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47219012423154))-π/2
    2×atan(4.35877094481965)-π/2
    2×1.34527652078217-π/2
    2.69055304156434-1.57079632675     		φ = 1.11975671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45365021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.583801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11975671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.157334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14351 KachelY 34825 -2.45365021 1.11975671 -140.583801 64.157334
    Oben rechts KachelX + 1 14352 KachelY 34825 -2.45360227 1.11975671 -140.581055 64.157334
    Unten links KachelX 14351 KachelY + 1 34826 -2.45365021 1.11973582 -140.583801 64.156137
    Unten rechts KachelX + 1 14352 KachelY + 1 34826 -2.45360227 1.11973582 -140.581055 64.156137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11975671-1.11973582) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11975671-1.11973582) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45365021--2.45360227) × cos(1.11975671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435901418817102 × 6371000     		do = 133.135513409176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45365021--2.45360227) × cos(1.11973582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435920219605388 × 6371000     		du = 133.141255653851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11975671)-sin(1.11973582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435901418817102-0.435920219605388)×R²
    abs(-2.45360227--2.45365021)×1.88007882861996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88007882861996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88007882861996e-05×40589641000000     		ar = 17719.4128944689m²