Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14351 / 10289
↖ ↑ ↗
← N 76.779398°
W101.167603°		 ← 139.69 m → N 76.779398°
W101.162110°		 →
↑
139.65 m
↓
↑
139.65 m
↓
N 76.778142°
W101.167603°		 ← 139.70 m →
19 509 m²		 N 76.778142°
W101.162110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218986511230469 y=0.157005310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218986511230469 × 216)
    floor (0.218986511230469 × 65536)
    floor (14351.5)     		tx = 14351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157005310058594 × 216)
    floor (0.157005310058594 × 65536)
    floor (10289.5)     		ty = 10289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14351 / 10289 ti = "16/14351/10289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14351/10289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14351 ÷ 216
    14351 ÷ 65536     		x = 0.218978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10289 ÷ 216
    10289 ÷ 65536     		y = 0.156997680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.562042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76570776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156997680664062 × 2 - 1) × π
    0.686004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15514713311848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76570776} λ = -1.76570776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15514713311848))-π/2
    2×atan(8.62915972075026)-π/2
    2×1.45542481575352-π/2
    2.91084963150703-1.57079632675     		φ = 1.34005330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76570776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34005330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.779398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14351 KachelY 10289 -1.76570776 1.34005330 -101.167603 76.779398
    Oben rechts KachelX + 1 14352 KachelY 10289 -1.76561189 1.34005330 -101.162110 76.779398
    Unten links KachelX 14351 KachelY + 1 10290 -1.76570776 1.34003138 -101.167603 76.778142
    Unten rechts KachelX + 1 14352 KachelY + 1 10290 -1.76561189 1.34003138 -101.162110 76.778142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34005330-1.34003138) × R
    2.19199999997866e-05 × 6371000     		dl = 139.65231999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34005330-1.34003138) × R
    2.19199999997866e-05 × 6371000     		dr = 139.65231999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76570776--1.76561189) × cos(1.34005330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228700920757481 × 6371000     		do = 139.687725386405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76570776--1.76561189) × cos(1.34003138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228722259750919 × 6371000     		du = 139.700758982622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34005330)-sin(1.34003138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228700920757481-0.228722259750919)×R²
    abs(-1.76561189--1.76570776)×2.13389934380359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13389934380359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13389934380359e-05×40589641000000     		ar = 19508.62501209m²