Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14350 / 7458
↖ ↑ ↗
← N 69.526834°
W 22.346192°		 ← 427.29 m → N 69.526834°
W 22.335205°		 →
↑
427.37 m
↓
↑
427.37 m
↓
N 69.522990°
W 22.346192°		 ← 427.37 m →
182 626 m²		 N 69.522990°
W 22.335205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437942504882812 y=0.227615356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437942504882812 × 215)
    floor (0.437942504882812 × 32768)
    floor (14350.5)     		tx = 14350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227615356445312 × 215)
    floor (0.227615356445312 × 32768)
    floor (7458.5)     		ty = 7458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14350 / 7458 ti = "15/14350/7458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14350/7458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14350 ÷ 215
    14350 ÷ 32768     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7458 ÷ 215
    7458 ÷ 32768     		y = 0.22760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22760009765625 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71153906403448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71153906403448))-π/2
    2×atan(5.53747745501854)-π/2
    2×1.39213424635528-π/2
    2.78426849271057-1.57079632675     		φ = 1.21347217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21347217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.526834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14350 KachelY 7458 -0.39001462 1.21347217 -22.346192 69.526834
    Oben rechts KachelX + 1 14351 KachelY 7458 -0.38982287 1.21347217 -22.335205 69.526834
    Unten links KachelX 14350 KachelY + 1 7459 -0.39001462 1.21340509 -22.346192 69.522990
    Unten rechts KachelX + 1 14351 KachelY + 1 7459 -0.38982287 1.21340509 -22.335205 69.522990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21347217-1.21340509) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dl = 427.366679999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21347217-1.21340509) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dr = 427.366679999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38982287) × cos(1.21347217) × R
    0.000191749999999991 × 0.349768661942202 × 6371000     		do = 427.291125848554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38982287) × cos(1.21340509) × R
    0.000191749999999991 × 0.349831504120985 × 6371000     		du = 427.367896320711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21347217)-sin(1.21340509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349768661942202-0.349831504120985)×R²
    abs(-0.38982287--0.39001462)×6.28421787832179e-05×R²
    0.000191749999999991×6.28421787832179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.28421787832179e-05×40589641000000     		ar = 182626.394486924m²