Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14350 / 21191
↖ ↑ ↗
← S 46.611715°
W 22.346192°		 ← 839.19 m → S 46.611715°
W 22.335205°		 →
↑
839.12 m
↓
↑
839.12 m
↓
S 46.619261°
W 22.346192°		 ← 839.07 m →
704 137 m²		 S 46.619261°
W 22.335205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437942504882812 y=0.646713256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437942504882812 × 215)
    floor (0.437942504882812 × 32768)
    floor (14350.5)     		tx = 14350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646713256835938 × 215)
    floor (0.646713256835938 × 32768)
    floor (21191.5)     		ty = 21191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14350 / 21191 ti = "15/14350/21191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14350/21191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14350 ÷ 215
    14350 ÷ 32768     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21191 ÷ 215
    21191 ÷ 32768     		y = 0.646697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.29339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.92173070589444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92173070589444))-π/2
    2×atan(0.397829918337476)-π/2
    2×0.378634218300155-π/2
    0.757268436600311-1.57079632675     		φ = -0.81352789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81352789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.611715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14350 KachelY 21191 -0.39001462 -0.81352789 -22.346192 -46.611715
    Oben rechts KachelX + 1 14351 KachelY 21191 -0.38982287 -0.81352789 -22.335205 -46.611715
    Unten links KachelX 14350 KachelY + 1 21192 -0.39001462 -0.81365960 -22.346192 -46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 14351 KachelY + 1 21192 -0.38982287 -0.81365960 -22.335205 -46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81352789--0.81365960) × R
    0.000131710000000007 × 6371000     		dl = 839.124410000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81352789--0.81365960) × R
    0.000131710000000007 × 6371000     		dr = 839.124410000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38982287) × cos(-0.81352789) × R
    0.000191749999999991 × 0.686938942025501 × 6371000     		do = 839.191573931785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38982287) × cos(-0.81365960) × R
    0.000191749999999991 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 839.074636657494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81352789)-sin(-0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686938942025501-0.686843220416776)×R²
    abs(-0.38982287--0.39001462)×9.57216087247303e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57216087247303e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57216087247303e-05×40589641000000     		ar = 704137.072909007m²