Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14349 / 7462
↖ ↑ ↗
← N 69.511457°
W 22.357178°		 ← 427.58 m → N 69.511457°
W 22.346192°		 →
↑
427.62 m
↓
↑
427.62 m
↓
N 69.507612°
W 22.357178°		 ← 427.65 m →
182 857 m²		 N 69.507612°
W 22.346192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437911987304688 y=0.227737426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437911987304688 × 215)
    floor (0.437911987304688 × 32768)
    floor (14349.5)     		tx = 14349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227737426757812 × 215)
    floor (0.227737426757812 × 32768)
    floor (7462.5)     		ty = 7462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14349 / 7462 ti = "15/14349/7462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14349/7462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14349 ÷ 215
    14349 ÷ 32768     		x = 0.437896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7462 ÷ 215
    7462 ÷ 32768     		y = 0.22772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.12420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39020636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22772216796875 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71077207364056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39020636} λ = -0.39020636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71077207364056))-π/2
    2×atan(5.53323189136538)-π/2
    2×1.39200006355115-π/2
    2.78400012710231-1.57079632675     		φ = 1.21320380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39020636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.357178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21320380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.511457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14349 KachelY 7462 -0.39020636 1.21320380 -22.357178 69.511457
    Oben rechts KachelX + 1 14350 KachelY 7462 -0.39001462 1.21320380 -22.346192 69.511457
    Unten links KachelX 14349 KachelY + 1 7463 -0.39020636 1.21313668 -22.357178 69.507612
    Unten rechts KachelX + 1 14350 KachelY + 1 7463 -0.39001462 1.21313668 -22.346192 69.507612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21320380-1.21313668) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dl = 427.621519999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21320380-1.21313668) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dr = 427.621519999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39020636--0.39001462) × cos(1.21320380) × R
    0.000191739999999996 × 0.350020068048437 × 6371000     		do = 427.575953637097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39020636--0.39001462) × cos(1.21313668) × R
    0.000191739999999996 × 0.350082941396514 × 6371000     		du = 427.652758181226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21320380)-sin(1.21313668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350020068048437-0.350082941396514)×R²
    abs(-0.39001462--0.39020636)×6.2873348076864e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2873348076864e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2873348076864e-05×40589641000000     		ar = 182857.100916017m²