Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14349 / 34826
↖ ↑ ↗
← N 64.156137°
W140.589294°		 ← 133.14 m → N 64.156137°
W140.586548°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
N 64.154939°
W140.589294°		 ← 133.15 m →
17 729 m²		 N 64.154939°
W140.586548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109477996826172 y=0.265705108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109477996826172 × 217)
    floor (0.109477996826172 × 131072)
    floor (14349.5)     		tx = 14349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265705108642578 × 217)
    floor (0.265705108642578 × 131072)
    floor (34826.5)     		ty = 34826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14349 / 34826 ti = "17/14349/34826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14349/34826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14349 ÷ 217
    14349 ÷ 131072     		x = 0.109474182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34826 ÷ 217
    34826 ÷ 131072     		y = 0.265701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109474182128906 × 2 - 1) × π
    -0.781051635742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.45374608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265701293945312 × 2 - 1) × π
    0.468597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47214218733192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45374608} λ = -2.45374608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47214218733192))-π/2
    2×atan(4.35856200386243)-π/2
    2×1.34526607267562-π/2
    2.69053214535124-1.57079632675     		φ = 1.11973582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45374608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.589294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11973582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.156137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14349 KachelY 34826 -2.45374608 1.11973582 -140.589294 64.156137
    Oben rechts KachelX + 1 14350 KachelY 34826 -2.45369814 1.11973582 -140.586548 64.156137
    Unten links KachelX 14349 KachelY + 1 34827 -2.45374608 1.11971492 -140.589294 64.154939
    Unten rechts KachelX + 1 14350 KachelY + 1 34827 -2.45369814 1.11971492 -140.586548 64.154939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11973582-1.11971492) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11973582-1.11971492) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45374608--2.45369814) × cos(1.11973582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435920219605388 × 6371000     		do = 133.141255653851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45374608--2.45369814) × cos(1.11971492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435939029203204 × 6371000     		du = 133.147000589183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11973582)-sin(1.11971492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435920219605388-0.435939029203204)×R²
    abs(-2.45369814--2.45374608)×1.88095978160274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88095978160274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88095978160274e-05×40589641000000     		ar = 17728.6599220572m²