Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14349 / 21193
↖ ↑ ↗
← S 46.626806°
W 22.357178°		 ← 838.91 m → S 46.626806°
W 22.346192°		 →
↑
838.87 m
↓
↑
838.87 m
↓
S 46.634350°
W 22.357178°		 ← 838.80 m →
703 690 m²		 S 46.634350°
W 22.346192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437911987304688 y=0.646774291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437911987304688 × 215)
    floor (0.437911987304688 × 32768)
    floor (14349.5)     		tx = 14349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646774291992188 × 215)
    floor (0.646774291992188 × 32768)
    floor (21193.5)     		ty = 21193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14349 / 21193 ti = "15/14349/21193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14349/21193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14349 ÷ 215
    14349 ÷ 32768     		x = 0.437896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21193 ÷ 215
    21193 ÷ 32768     		y = 0.646759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.12420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39020636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.29351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9221142010914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39020636} λ = -0.39020636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9221142010914))-π/2
    2×atan(0.397677381724985)-π/2
    2×0.37850251776205-π/2
    0.7570050355241-1.57079632675     		φ = -0.81379129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39020636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.357178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81379129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.626806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14349 KachelY 21193 -0.39020636 -0.81379129 -22.357178 -46.626806
    Oben rechts KachelX + 1 14350 KachelY 21193 -0.39001462 -0.81379129 -22.346192 -46.626806
    Unten links KachelX 14349 KachelY + 1 21194 -0.39020636 -0.81392296 -22.357178 -46.634350
    Unten rechts KachelX + 1 14350 KachelY + 1 21194 -0.39001462 -0.81392296 -22.346192 -46.634350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81379129--0.81392296) × R
    0.000131670000000028 × 6371000     		dl = 838.869570000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81379129--0.81392296) × R
    0.000131670000000028 × 6371000     		dr = 838.869570000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39020636--0.39001462) × cos(-0.81379129) × R
    0.000191739999999996 × 0.686747501430944 × 6371000     		do = 838.913949904137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39020636--0.39001462) × cos(-0.81392296) × R
    0.000191739999999996 × 0.686651785075089 × 6371000     		du = 838.797025145048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81379129)-sin(-0.81392296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686747501430944-0.686651785075089)×R²
    abs(-0.39001462--0.39020636)×9.57163558543694e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57163558543694e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57163558543694e-05×40589641000000     		ar = 703690.343128811m²