Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14349 / 10291
↖ ↑ ↗
← N 76.776886°
W101.178589°		 ← 139.73 m → N 76.776886°
W101.173095°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
N 76.775629°
W101.178589°		 ← 139.74 m →
19 523 m²		 N 76.775629°
W101.173095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218955993652344 y=0.157035827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218955993652344 × 216)
    floor (0.218955993652344 × 65536)
    floor (14349.5)     		tx = 14349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157035827636719 × 216)
    floor (0.157035827636719 × 65536)
    floor (10291.5)     		ty = 10291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14349 / 10291 ti = "16/14349/10291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14349/10291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14349 ÷ 216
    14349 ÷ 65536     		x = 0.218948364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10291 ÷ 216
    10291 ÷ 65536     		y = 0.157028198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218948364257812 × 2 - 1) × π
    -0.562103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76589951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157028198242188 × 2 - 1) × π
    0.685943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15495538552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76589951} λ = -1.76589951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15495538552))-π/2
    2×atan(8.62750525872153)-π/2
    2×1.45540288728122-π/2
    2.91080577456243-1.57079632675     		φ = 1.34000945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76589951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.178589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34000945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.776886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14349 KachelY 10291 -1.76589951 1.34000945 -101.178589 76.776886
    Oben rechts KachelX + 1 14350 KachelY 10291 -1.76580363 1.34000945 -101.173095 76.776886
    Unten links KachelX 14349 KachelY + 1 10292 -1.76589951 1.33998752 -101.178589 76.775629
    Unten rechts KachelX + 1 14350 KachelY + 1 10292 -1.76580363 1.33998752 -101.173095 76.775629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34000945-1.33998752) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dl = 139.716029999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34000945-1.33998752) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dr = 139.716029999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76589951--1.76580363) × cos(1.34000945) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228743608369327 × 6371000     		do = 139.728371712852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76589951--1.76580363) × cos(1.33998752) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228764956877725 × 6371000     		du = 139.741412480803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34000945)-sin(1.33998752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228743608369327-0.228764956877725)×R²
    abs(-1.76580363--1.76589951)×2.13485083987996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.13485083987996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.13485083987996e-05×40589641000000     		ar = 19523.2043771277m²