Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14348 / 21785
↖ ↑ ↗
← S 50.909961°
W 22.368164°		 ← 770.29 m → S 50.909961°
W 22.357178°		 →
↑
770.19 m
↓
↑
770.19 m
↓
S 50.916887°
W 22.368164°		 ← 770.18 m →
593 228 m²		 S 50.916887°
W 22.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437881469726562 y=0.664840698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437881469726562 × 215)
    floor (0.437881469726562 × 32768)
    floor (14348.5)     		tx = 14348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664840698242188 × 215)
    floor (0.664840698242188 × 32768)
    floor (21785.5)     		ty = 21785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14348 / 21785 ti = "15/14348/21785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14348/21785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14348 ÷ 215
    14348 ÷ 32768     		x = 0.4378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21785 ÷ 215
    21785 ÷ 32768     		y = 0.664825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39039811} λ = -0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03562877939169))-π/2
    2×atan(0.355003092104301)-π/2
    2×0.341124945481208-π/2
    0.682249890962416-1.57079632675     		φ = -0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14348 KachelY 21785 -0.39039811 -0.88854644 -22.368164 -50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 14349 KachelY 21785 -0.39020636 -0.88854644 -22.357178 -50.909961
    Unten links KachelX 14348 KachelY + 1 21786 -0.39039811 -0.88866733 -22.368164 -50.916887
    Unten rechts KachelX + 1 14349 KachelY + 1 21786 -0.39020636 -0.88866733 -22.357178 -50.916887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88854644--0.88866733) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dl = 770.190189999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88854644--0.88866733) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dr = 770.190189999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.88854644) × R
    0.000191750000000046 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 770.293489769304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.88866733) × R
    0.000191750000000046 × 0.630447047552207 × 6371000     		du = 770.178858336578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88854644)-sin(-0.88866733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630447047552207)×R²
    abs(-0.39020636--0.39039811)×9.38341107866725e-05×R²
    0.000191750000000046×9.38341107866725e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.38341107866725e-05×40589641000000     		ar = 593228.345960649m²