Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14348 / 20233
↖ ↑ ↗
← S 38.899584°
W 22.368164°		 ← 950.74 m → S 38.899584°
W 22.357178°		 →
↑
950.68 m
↓
↑
950.68 m
↓
S 38.908133°
W 22.368164°		 ← 950.62 m →
903 794 m²		 S 38.908133°
W 22.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437881469726562 y=0.617477416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437881469726562 × 215)
    floor (0.437881469726562 × 32768)
    floor (14348.5)     		tx = 14348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617477416992188 × 215)
    floor (0.617477416992188 × 32768)
    floor (20233.5)     		ty = 20233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14348 / 20233 ti = "15/14348/20233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14348/20233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14348 ÷ 215
    14348 ÷ 32768     		x = 0.4378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20233 ÷ 215
    20233 ÷ 32768     		y = 0.617462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.23492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.738036506550385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39039811} λ = -0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738036506550385))-π/2
    2×atan(0.47805164588132)-π/2
    2×0.44593525918685-π/2
    0.891870518373699-1.57079632675     		φ = -0.67892581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67892581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.899584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14348 KachelY 20233 -0.39039811 -0.67892581 -22.368164 -38.899584
    Oben rechts KachelX + 1 14349 KachelY 20233 -0.39020636 -0.67892581 -22.357178 -38.899584
    Unten links KachelX 14348 KachelY + 1 20234 -0.39039811 -0.67907503 -22.368164 -38.908133
    Unten rechts KachelX + 1 14349 KachelY + 1 20234 -0.39020636 -0.67907503 -22.357178 -38.908133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67892581--0.67907503) × R
    0.000149220000000061 × 6371000     		dl = 950.680620000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67892581--0.67907503) × R
    0.000149220000000061 × 6371000     		dr = 950.680620000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.67892581) × R
    0.000191750000000046 × 0.778247713185124 × 6371000     		do = 950.737952649918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.67907503) × R
    0.000191750000000046 × 0.778154000717691 × 6371000     		du = 950.623469821488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67892581)-sin(-0.67907503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778247713185124-0.778154000717691)×R²
    abs(-0.39020636--0.39039811)×9.37124674328382e-05×R²
    0.000191750000000046×9.37124674328382e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.37124674328382e-05×40589641000000     		ar = 903793.729657422m²