Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14347 / 34828
↖ ↑ ↗
← N 64.153742°
W140.594787°		 ← 133.12 m → N 64.153742°
W140.592041°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
N 64.152544°
W140.594787°		 ← 133.13 m →
17 726 m²		 N 64.152544°
W140.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109462738037109 y=0.265720367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109462738037109 × 217)
    floor (0.109462738037109 × 131072)
    floor (14347.5)     		tx = 14347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265720367431641 × 217)
    floor (0.265720367431641 × 131072)
    floor (34828.5)     		ty = 34828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14347 / 34828 ti = "17/14347/34828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14347/34828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14347 ÷ 217
    14347 ÷ 131072     		x = 0.109458923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34828 ÷ 217
    34828 ÷ 131072     		y = 0.265716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109458923339844 × 2 - 1) × π
    -0.781082153320312 × 3.1415926535     		Λ = -2.45384195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    0.46856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47204631353268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45384195} λ = -2.45384195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47204631353268))-π/2
    2×atan(4.35814415199474)-π/2
    2×1.34524517511019-π/2
    2.69049035022038-1.57079632675     		φ = 1.11969402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45384195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.594787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11969402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.153742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14347 KachelY 34828 -2.45384195 1.11969402 -140.594787 64.153742
    Oben rechts KachelX + 1 14348 KachelY 34828 -2.45379402 1.11969402 -140.592041 64.153742
    Unten links KachelX 14347 KachelY + 1 34829 -2.45384195 1.11967312 -140.594787 64.152544
    Unten rechts KachelX + 1 14348 KachelY + 1 34829 -2.45379402 1.11967312 -140.592041 64.152544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11969402-1.11967312) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11969402-1.11967312) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45384195--2.45379402) × cos(1.11969402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.435957838610597 × 6371000     		do = 133.124970592626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45384195--2.45379402) × cos(1.11967312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43597664782756 × 6371000     		du = 133.1307142133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11969402)-sin(1.11967312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435957838610597-0.43597664782756)×R²
    abs(-2.45379402--2.45384195)×1.88092169627341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88092169627341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88092169627341e-05×40589641000000     		ar = 17726.4914150409m²