Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14344 / 4457
↖ ↑ ↗
← N 78.400329°
W 22.412109°		 ← 245.64 m → N 78.400329°
W 22.401123°		 →
↑
245.67 m
↓
↑
245.67 m
↓
N 78.398119°
W 22.412109°		 ← 245.68 m →
60 350 m²		 N 78.398119°
W 22.401123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437759399414062 y=0.136032104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437759399414062 × 215)
    floor (0.437759399414062 × 32768)
    floor (14344.5)     		tx = 14344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136032104492188 × 215)
    floor (0.136032104492188 × 32768)
    floor (4457.5)     		ty = 4457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14344 / 4457 ti = "15/14344/4457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14344/4457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14344 ÷ 215
    14344 ÷ 32768     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4457 ÷ 215
    4457 ÷ 32768     		y = 0.136016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136016845703125 × 2 - 1) × π
    0.72796630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28697360707364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28697360707364))-π/2
    2×atan(9.84509741658517)-π/2
    2×1.46957009822721-π/2
    2.93914019645442-1.57079632675     		φ = 1.36834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.400329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14344 KachelY 4457 -0.39116510 1.36834387 -22.412109 78.400329
    Oben rechts KachelX + 1 14345 KachelY 4457 -0.39097335 1.36834387 -22.401123 78.400329
    Unten links KachelX 14344 KachelY + 1 4458 -0.39116510 1.36830531 -22.412109 78.398119
    Unten rechts KachelX + 1 14345 KachelY + 1 4458 -0.39097335 1.36830531 -22.401123 78.398119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36834387-1.36830531) × R
    3.85599999999098e-05 × 6371000     		dl = 245.665759999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36834387-1.36830531) × R
    3.85599999999098e-05 × 6371000     		dr = 245.665759999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(1.36834387) × R
    0.000191749999999991 × 0.201072301871493 × 6371000     		do = 245.637816054053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(1.36830531) × R
    0.000191749999999991 × 0.201110074188101 × 6371000     		du = 245.683960198584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36834387)-sin(1.36830531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201072301871493-0.201110074188101)×R²
    abs(-0.39097335--0.39116510)×3.77723166077593e-05×R²
    0.000191749999999991×3.77723166077593e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.77723166077593e-05×40589641000000     		ar = 60350.4687909292m²