Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14344 / 20234
↖ ↑ ↗
← S 38.908133°
W 22.412109°		 ← 950.62 m → S 38.908133°
W 22.401123°		 →
↑
950.55 m
↓
↑
950.55 m
↓
S 38.916682°
W 22.412109°		 ← 950.51 m →
903 564 m²		 S 38.916682°
W 22.401123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437759399414062 y=0.617507934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437759399414062 × 215)
    floor (0.437759399414062 × 32768)
    floor (14344.5)     		tx = 14344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617507934570312 × 215)
    floor (0.617507934570312 × 32768)
    floor (20234.5)     		ty = 20234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14344 / 20234 ti = "15/14344/20234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14344/20234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14344 ÷ 215
    14344 ÷ 32768     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20234 ÷ 215
    20234 ÷ 32768     		y = 0.61749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.738228254148865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738228254148865))-π/2
    2×atan(0.477959989414008)-π/2
    2×0.445860650113923-π/2
    0.891721300227845-1.57079632675     		φ = -0.67907503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67907503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.908133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14344 KachelY 20234 -0.39116510 -0.67907503 -22.412109 -38.908133
    Oben rechts KachelX + 1 14345 KachelY 20234 -0.39097335 -0.67907503 -22.401123 -38.908133
    Unten links KachelX 14344 KachelY + 1 20235 -0.39116510 -0.67922423 -22.412109 -38.916682
    Unten rechts KachelX + 1 14345 KachelY + 1 20235 -0.39097335 -0.67922423 -22.401123 -38.916682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67907503--0.67922423) × R
    0.00014919999999996 × 6371000     		dl = 950.553199999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67907503--0.67922423) × R
    0.00014919999999996 × 6371000     		dr = 950.553199999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(-0.67907503) × R
    0.000191749999999991 × 0.778154000717691 × 6371000     		do = 950.623469821213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39097335) × cos(-0.67922423) × R
    0.000191749999999991 × 0.778060283487201 × 6371000     		du = 950.508981174044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67907503)-sin(-0.67922423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778154000717691-0.778060283487201)×R²
    abs(-0.39097335--0.39116510)×9.37172304906753e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37172304906753e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37172304906753e-05×40589641000000     		ar = 903563.769134424m²