Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14343 / 20231
↖ ↑ ↗
← S 38.882481°
W 22.423096°		 ← 950.97 m → S 38.882481°
W 22.412109°		 →
↑
950.87 m
↓
↑
950.87 m
↓
S 38.891033°
W 22.423096°		 ← 950.85 m →
904 193 m²		 S 38.891033°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437728881835938 y=0.617416381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437728881835938 × 215)
    floor (0.437728881835938 × 32768)
    floor (14343.5)     		tx = 14343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617416381835938 × 215)
    floor (0.617416381835938 × 32768)
    floor (20231.5)     		ty = 20231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14343 / 20231 ti = "15/14343/20231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14343/20231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14343 ÷ 215
    14343 ÷ 32768     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20231 ÷ 215
    20231 ÷ 32768     		y = 0.617401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.23480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.737653011353424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737653011353424))-π/2
    2×atan(0.478235011549094)-π/2
    2×0.44608450428463-π/2
    0.89216900856926-1.57079632675     		φ = -0.67862732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67862732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.882481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14343 KachelY 20231 -0.39135685 -0.67862732 -22.423096 -38.882481
    Oben rechts KachelX + 1 14344 KachelY 20231 -0.39116510 -0.67862732 -22.412109 -38.882481
    Unten links KachelX 14343 KachelY + 1 20232 -0.39135685 -0.67877657 -22.423096 -38.891033
    Unten rechts KachelX + 1 14344 KachelY + 1 20232 -0.39116510 -0.67877657 -22.412109 -38.891033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67862732--0.67877657) × R
    0.00014924999999999 × 6371000     		dl = 950.871749999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67862732--0.67877657) × R
    0.00014924999999999 × 6371000     		dr = 950.871749999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39116510) × cos(-0.67862732) × R
    0.000191749999999991 × 0.778435117517347 × 6371000     		do = 950.966893137507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39116510) × cos(-0.67877657) × R
    0.000191749999999991 × 0.778341420880445 × 6371000     		du = 950.852429648274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67862732)-sin(-0.67877657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778435117517347-0.778341420880445)×R²
    abs(-0.39116510--0.39135685)×9.36966369019521e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36966369019521e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36966369019521e-05×40589641000000     		ar = 904193.135499116m²