Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14343 / 18376
↖ ↑ ↗
← N 78.093763°
W140.605774°		 ← 63 m → N 78.093763°
W140.603028°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.093196°
W140.605774°		 ← 63 m →
3 970 m²		 N 78.093196°
W140.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109432220458984 y=0.140201568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109432220458984 × 217)
    floor (0.109432220458984 × 131072)
    floor (14343.5)     		tx = 14343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140201568603516 × 217)
    floor (0.140201568603516 × 131072)
    floor (18376.5)     		ty = 18376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14343 / 18376 ti = "17/14343/18376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14343/18376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14343 ÷ 217
    14343 ÷ 131072     		x = 0.109428405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18376 ÷ 217
    18376 ÷ 131072     		y = 0.14019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109428405761719 × 2 - 1) × π
    -0.781143188476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45403370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14019775390625 × 2 - 1) × π
    0.7196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26070418608185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45403370} λ = -2.45403370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26070418608185))-π/2
    2×atan(9.58983982135627)-π/2
    2×1.46689481043219-π/2
    2.93378962086438-1.57079632675     		φ = 1.36299329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45403370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.605774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36299329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.093763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14343 KachelY 18376 -2.45403370 1.36299329 -140.605774 78.093763
    Oben rechts KachelX + 1 14344 KachelY 18376 -2.45398577 1.36299329 -140.603028 78.093763
    Unten links KachelX 14343 KachelY + 1 18377 -2.45403370 1.36298340 -140.605774 78.093196
    Unten rechts KachelX + 1 14344 KachelY + 1 18377 -2.45398577 1.36298340 -140.603028 78.093196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36299329-1.36298340) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dl = 63.0091899990179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36299329-1.36298340) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dr = 63.0091899990179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45403370--2.45398577) × cos(1.36299329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206310700560491 × 6371000     		do = 62.9994543339123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45403370--2.45398577) × cos(1.36298340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20632037778221 × 6371000     		du = 63.0024093899812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36299329)-sin(1.36298340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206310700560491-0.20632037778221)×R²
    abs(-2.45398577--2.45403370)×9.67722171907326e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67722171907326e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67722171907326e-06×40589641000000     		ar = 3969.63768589161m²