Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14343 / 14375
↖ ↑ ↗
← N 70.541373°
W101.211548°		 ← 203.47 m → N 70.541373°
W101.206055°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 70.539543°
W101.211548°		 ← 203.49 m →
41 406 m²		 N 70.539543°
W101.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218864440917969 y=0.219352722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218864440917969 × 216)
    floor (0.218864440917969 × 65536)
    floor (14343.5)     		tx = 14343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219352722167969 × 216)
    floor (0.219352722167969 × 65536)
    floor (14375.5)     		ty = 14375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14343 / 14375 ti = "16/14343/14375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14343/14375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14343 ÷ 216
    14343 ÷ 65536     		x = 0.218856811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14375 ÷ 216
    14375 ÷ 65536     		y = 0.219345092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218856811523438 × 2 - 1) × π
    -0.562286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76647475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219345092773438 × 2 - 1) × π
    0.561309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76340678942339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76647475} λ = -1.76647475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76340678942339))-π/2
    2×atan(5.83227291317511)-π/2
    2×1.40098777378733-π/2
    2.80197554757465-1.57079632675     		φ = 1.23117922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76647475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.211548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23117922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.541373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14343 KachelY 14375 -1.76647475 1.23117922 -101.211548 70.541373
    Oben rechts KachelX + 1 14344 KachelY 14375 -1.76637888 1.23117922 -101.206055 70.541373
    Unten links KachelX 14343 KachelY + 1 14376 -1.76647475 1.23114728 -101.211548 70.539543
    Unten rechts KachelX + 1 14344 KachelY + 1 14376 -1.76637888 1.23114728 -101.206055 70.539543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23117922-1.23114728) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23117922-1.23114728) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76647475--1.76637888) × cos(1.23117922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333126093348319 × 6371000     		do = 203.469343685027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76647475--1.76637888) × cos(1.23114728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333156208838619 × 6371000     		du = 203.48773785819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23117922)-sin(1.23114728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333126093348319-0.333156208838619)×R²
    abs(-1.76637888--1.76647475)×3.01154902995759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01154902995759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01154902995759e-05×40589641000000     		ar = 41405.7953608171m²