Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14343 / 10620
↖ ↑ ↗
← N 53.357109°
W 22.423096°		 ← 729.11 m → N 53.357109°
W 22.412109°		 →
↑
729.16 m
↓
↑
729.16 m
↓
N 53.350551°
W 22.423096°		 ← 729.22 m →
531 676 m²		 N 53.350551°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437728881835938 y=0.324111938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437728881835938 × 215)
    floor (0.437728881835938 × 32768)
    floor (14343.5)     		tx = 14343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324111938476562 × 215)
    floor (0.324111938476562 × 32768)
    floor (10620.5)     		ty = 10620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14343 / 10620 ti = "15/14343/10620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14343/10620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14343 ÷ 215
    14343 ÷ 32768     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10620 ÷ 215
    10620 ÷ 32768     		y = 0.3240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3240966796875 × 2 - 1) × π
    0.351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10523315764001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10523315764001))-π/2
    2×atan(3.01992850613104)-π/2
    2×1.25102677686655-π/2
    2.5020535537331-1.57079632675     		φ = 0.93125723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93125723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.357109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14343 KachelY 10620 -0.39135685 0.93125723 -22.423096 53.357109
    Oben rechts KachelX + 1 14344 KachelY 10620 -0.39116510 0.93125723 -22.412109 53.357109
    Unten links KachelX 14343 KachelY + 1 10621 -0.39135685 0.93114278 -22.423096 53.350551
    Unten rechts KachelX + 1 14344 KachelY + 1 10621 -0.39116510 0.93114278 -22.412109 53.350551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93125723-0.93114278) × R
    0.000114450000000099 × 6371000     		dl = 729.160950000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93125723-0.93114278) × R
    0.000114450000000099 × 6371000     		dr = 729.160950000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39116510) × cos(0.93125723) × R
    0.000191749999999991 × 0.596825689438233 × 6371000     		do = 729.10568762602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39116510) × cos(0.93114278) × R
    0.000191749999999991 × 0.596917516881201 × 6371000     		du = 729.217867634577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93125723)-sin(0.93114278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596825689438233-0.596917516881201)×R²
    abs(-0.39116510--0.39135685)×9.18274429684285e-05×R²
    0.000191749999999991×9.18274429684285e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.18274429684285e-05×40589641000000     		ar = 531676.295061757m²